Levy扩散过程与非局部偏微分方程

This project is mainly concentrated on stochastic differential equations driven by Levy processes (including α-stable processes) and nonlocal integro-differential equations. It is well-known that the generator of Levy diffusion process is an integro-differential (nonlocal) operator, like the relation between Brownian diffusion processes and second-order partial differential equations. We mainly want to use the stochastic analysis or probabilisitc techniques to study the problems in nonlocal integro-differential equations, and viceversa, by stduying the nonlocal equations, we want to solve the stochastic differential equations driven by Levy processes. In particular, we are mainly concerned with the following aspects: 1. Probabilistic approach for quasi-linear integro-partial differential equations. 2. Krylov's estimate for stochastic differential equations driven by Levy processes. 3. Harnack's inequality and Holder's estimate for nonlocal equations. 4. Lp-theory for nonlocal equations. 5. Ergodicity of stochastic partial differential equations driven by Levy processes. Among these problems, there are deep connections. After studying these problems, we expect to apply them to various nonlinear problems such as multidimensional critical Burgers equation and quasi-geostrophic equations etc.

本项目主要研究由Levy过程（特别地α稳定过程）驱动的随机微分方程与非局部积分偏微分方程。众所周知，Levy扩散过程的生成子为一非局部的积分偏微分算子，就像Brown扩散过程与二阶偏微分方程的联系一样，我们主要想探讨随机分析或者说概率的方法在非局部积分偏微分方程中的应用，反过来，通过研究非局部积分偏微分方程来研究带跳的随机微分方程。特别地我们主要侧重于以下几个方面的研究：1、拟线性积分偏微分方程的概率方法。2、由Levy过程驱动的随机微分方程的Krylov估计。3、非局部方程的Harnack不等式以及Holder估计。4、非局部积分偏微分方程的Lp理论。5、由Levy过程驱动的随机偏微分方程的遍历性。以上研究内容之间有着密切的联系。进一步，我们期望能应用到各种非线性问题中去，比方临界多维Burgers方程，准地转方程等等。

经典的随机微分方程理论研究由Brown运动驱动的扩散过程，到目前为止与之相关的理论以及结果已经相当完善。然而，不连续随机微分方程的研究结果相对来说要少许多，部分原因由于不连续Levy过程的Levy测度具有多样性导致相应的研究变的相当复杂，很多结果强烈地依赖于Levy测度的性质。最近几年，由于不连续扩散过程与物理、控制以及金融数学等学科中的许多现象有着密切的联系，因此引起了众多学者的极大兴趣。而该项目即是围绕着与非局部算子有关的不连续扩散过程的研究。我们从分析与概率的角度研究了相关的问题并取得了以下主要进展与结果： 1、建立了非局部算子L^p极大正则性理论。2、研究了纯跳Levy过程驱动的随机微分方程的各种导数公式及其应用。3、证明了具有Sobolev系数随机微分方程的强适定性以及解的性质，这包括退化情形的DiPerna-Lions理论以及非退化情形的相关的结果。4、研究了非局部动力学Fokker-Planck方程的基本解存在性以及光滑性问题。5、解决了纯跳超临界随机微分方程的适定性问题。这些结果的取得为我们后续研究奠定了坚实的基础，并且也提出了许多新的有意思的问题。我们期望能在后续的研究中进一步完善关于带跳随机方程的理论，包括导数公式以及具有不规则系数随机方程的强弱适定性等。