非局部算子的随机分析及其应用

During the last decade, there is an increasing interest in the study of stochastic analysis of discontinuous Markov processes and related nonlocal or integro-partial differential equations. It is motivated not only by various problems from mathematical physics, biography, stochastic control with jumps, mathematical economics and engineering, but also from the intrinsic needs of mathematical development itself. This proposal concentrates on several topics in current research frontiers on the potential theory of discontinuous Markov processes and nonlocal operators. More precisely, we will conduct research in the following four areas. (i) Study potential theory of discontinuous non-symmetric Markov processes with singular jumping measures, or equivalently, non-local operators with non-symmetry and singular kernels, including heat kernel estimate, Harnack inequality and Hölder regularity, by a combination of probabilistic and analytic methods. (ii) Study strong and weak well-posedness of stochastic differential equations with singular and irregular coefficients, and their applications to nonlocal Fokker-Planck equations. (iii) Study Hörmander hypo-ellipticity of nonlocal operators and its applications in Boltzmann equations via probabilistic approaches. (iv) Study limit theorems and large deviations of super-processes with nonlocal branching mechanism.(v) Nonlocal stochastic partial differential equations.

最近十几年来关于Lévy过程的随机分析以及与之相连的非局部偏微分方程的研究受到了越来越多学者的重视，主要是因为来自数学物理、生物、带跳随机控制、金融数学以及工程等各种实际问题的需要，也是因为其在数学自身发展中重要需求的驱动。本项目主要研究非连续马氏过程和非局部算子国际研究前沿中的几个重要问题。具体来说集中研究以下五个课题：(i)采用概率与分析相结合的方法研究具有非对称奇异跳测度的马氏过程和具奇异核函数的非局部算子的位势理论,包括热核估计、Harnack不等式以及Hölder先验估计。(ii)带有奇异不规则系数带跳随机微分方程的弱适定性与强适定性及其在非局部Fokker-Planck方程中的应用。(iii)用概率的方法研究非局部Hörmander型算子的亚椭圆性定理及其在Boltzmann方程中的应用。(iv)研究具有非局部分支机制的超过程的极限定理。 (v)非局部随机偏微分方程。

本项目主要研究与非局部算子（对应于Lévy过程）有关的随机分析以及与之相连的非局部（或者说积分）偏微分方程相关问题展开。对于这类非局部算子的研究不仅仅是因为来自数学物理、生物、带跳随机控制以及金融数学等各种实际问题的需要，也因为其在数学自身发展中重要需求的驱动。主要研究内容包括：(i)非局部算子的热核双边估计、抛物型Harnack不等式以及对应的退化或者非退化偏微分方程的正则性估计及其应用。(ii)具有非光滑系数带跳随机微分方程的适定性、遍历性等。(iii)具有非局部分枝机制的超过程性质研究。(iv)交互作用粒子系统的长时间行为研究。(v)具有重要物理背景的随机偏微分方程研究。特别的我们取得了以下主要成果：(a)建立了与对称非局部Dirichlet型相连的双边热核估计及抛物型Harnack不等式的稳定性理论；(b)建立了具有非光滑系数非局部算子与微观随机方程鞅问题解相关的叠加原理；(c)研究了超临界随机微分方程的适定性、热核估计以及遍历性等问题；(d)证明了非局部动理学算子的极大L^p正则性与Schauder估计；(e)基于调和分析中的拟控制分布方法研究了全空间中的奇异 HJB 方程的全局适定性并应用到无穷体积KPZ方程的整体适定性；(f)在非局部分枝超过程长时间极限行为以及收敛速度方面取得了一系列成果；(g)运用耦合方法研究了平均场交互作用粒子系统泊松方程的梯度估计问题，以及W_1距离下的指数收敛性问题，得到了混沌传播的收敛速度；(h)将凸积分理论应用于随机流体方程，并结合随机分析鞅方法证明了随机三维Navier-Stokes方程鞅解分布的不唯一。项目开展五年来共发表学术论文60余篇，其中包括《JEMS》、《CPAM》、《AOP》、《PTRF》、《CMP》、《AIM》、《JMPA》、《TAMS》、《AAP》、《SPA》等国际一流杂志。这些结果极大地丰富了与非局部算子相关的随机分析与偏微分方程理论，取得了重要进展。为后续相关领域的研究打下了坚实的基础。