带跳随机偏微分方程的若干问题的研究

本项目拟研究在非Lipschitz条件（如：log-Lipschitz条件，weak-monotonicity条件，demi-continuity条件，weak-coercivity条件等）以及多项式增长条件下带跳随机偏微分方程的适定性。随后，我们将研究带跳随机发展方程解半群的遍历性和具有可乘Lévy噪声的随机发展方程的大偏差。此外，我们将研究带跳的抛物型随机偏微分方程的随机流- - 完备上链以及解关于空间变量的正则性。最后，我们还打算研究在weak-monotonicity条件，demi-continuity条件，weak-coercivity条件和多项式增长甚至函数增长条件下倒向的带跳随机偏微分方程的适定性和解的正则性。

我们按照项目计划开展研究，完成了大部分研究内容，基本达到预期目标。取得的研究成果如下。对带跳随机微分方程，我们得到了它解的平稳测度和遍历性。然后，我们把带跳随机微分方程的解过程看作随机动力系统，先对线性情况证明了多重遍历定理，后对非线性情况用拓扑等价研究了线性化和随机吸引子。接着，我们还研究了带跳随机微分方程的逃逸概率，得到了它是一个偏微分积分方程的解，而且提供了一种渐进的方法去求解这个方程。此外，对一类非线性滤波问题，我们推导了它的Zakai方程和Kushner-Stratonovich方程。最后，对具有可乘噪声的随机微分方程，我们证明了周期弱解和周期强解。