具耗散项的非线性发展方程有界行波解的定性分析与求解研究

以往人们大多研究了保守系统孤波解的性质及求解,对具耗散项的非线性系统行波解的研究大多限于具低阶非线性项且耗散项也较简单的情形。由于在实际问题中耗散是不可避免的,开展对具耗散项的非线性发展方程行波解的研究是一项很有意义的工作。本项目我们将主要运用平面动力系统的理论和方法、积分方法以及齐次化原理的思想方法,围绕具耗散项的非线性发展方程有界行波解的存在性、孤波解在耗散作用下的演化及求解问题开展深入的研究。揭示耗散对非线性系统的影响以及行波在耗散作用下的演变规律，求出表征耗散作用大小的"临界值"或证明其存在性。在此基础上，进一步探讨求解具耗散项的非线性发展方程衰减振荡解的近似解及其误差估计的新方法。据此我们可求解出许多重要的非线性发展方程衰减振荡解的近似解并给出误差估计。本项目的研究成果，对耗散系统的深入研究具有借鉴作用,对非线性波动的控制具有应用参考价值,可进一步丰富非线性波动及其应用的理论。

本项目我们主要运用平面动力系统的理论和方法、积分方法以及齐次化原理的思想, 研究具耗散项的非线性发展方程有界行波解的存在性、孤波解在耗散作用下的演化及求解问题。围绕三个有重要物理背景且分别具复杂耗散项、高次非线性项和耦合特点的具耗散项的非线性发展方程（河床流体模型方程，广义组合KdV-Burgers方程，广义WBK方程），我们开展了解的定性分析、耗散对系统影响方面的研究和衰减振荡解的近似解及其误差估计方面的研究，取得了许多创新性的成果。.通过本项目的研究，我们揭示了耗散对非线性系统的影响，建立了求解具耗散项的非线性发展方程衰减振荡解近似解的新方法。. 根据本项目的研究成果和研究方法，我们求解出了许多重要的非线性发展方程衰减振荡解的近似解并给出了其误差估计，还求解出了许多无耗散影响的发展方程的孤波解和周期解。 . 本项目的成果，丰富了非线性发展方程的求解理论和方法，对耗散系统的深入研究具有借鉴作用和参考价值。.立项三年来，已在国内外重要学术刊物发表论文29篇，其中17篇被SCI收录，2篇被EI收录，已顺利完成了考核指标所规定的任务。 本项目组所取得的成果达到孤波研究的前沿水平，在某些方面达到领先水平。. 本项目的创新点如下: . (1) 以往文献大多把平面动力系统的理论和方法应用于保守系统，仅有少量文献把该方法应用于具耗散项的非线性发展方程行波解的研究。本项目主要研究的方程或具高次非线性项或具复杂耗散项，它们要比以往文献复杂得多。故我们的研究除了应用平面动力系统的理论和方法外，还应用了反应扩散方程的知识和精细的数学分析技巧，去克服由高次非线性项或复杂耗散项带来的复杂性和困难。 . (2) 以往关于具耗散项的非线性发展方程衰减振荡解的求解研究很少。本项目不仅研究了如何求出三个典型方程衰减振荡解的近似解，而且还研究并给出了所研方程衰减振荡解近似解的误差估计。从误差估计可知，用本项目方法求得的衰减振荡解的近似解与其精确解间的误差是以指数形式速降的无穷小量。 . (3) 本项目实际上给出了一个求解在耗散作用下非线性发展方程衰减振荡解近似解的新方法:即对所研方程先做定性分析，再求出无耗散作用情况下的解，而后再根据衰减振荡解对应的解轨线在相图中的演化关系求出衰减振荡解的近似解。