含多个非线性项的发展方程孤波解的稳定与不稳定性

Less literature has been found on the stabilty of solitary wave solutions to the nonlinear evolution equations compared with their solution research，especially to the equations mixed with high-order and low-order nonlinear terms. This project will study the orbital stability of the solitary wave solutions for the nonlinear evolution equations mixed with multiple nonlinear terms. We may provide some useful experience and methods to overcome the complexity caused by multiple nonlinear terms and reveal the impact of high-order and low-order nonlinear terms on the stability of the solitary wave solutions. More importantly, this project will discuss the solitary wave solutions whose asymptotic value is nonzero, since the available theory of Grillakis-Shatah-Strauss orbital stability was constructed for the nonlinear evolution equations whose asymptotic is zero and this theory can only be applied to the Hamilton system whose coefficients have no relations to the wave velocity, which is contrary to the case we will deal with. We will establish new method and criteria to judge the stabilty of the solitary wave solutions whose asymptotic is nonzero. The results of this project will make the theory and methods of the orbital stability for the solitary wave solutions more plentiful and promote further research and application.

以往人们对非线性发展方程孤波解的求解研究较多，稳定性研究较少，尤其是对既具高次非线性项又具低次非线性项的发展方程孤波解稳定性的研究更少。本项目就将针对这类具多个非线性项的发展方程的孤波解研究其轨道稳定性。我们将在如何克服由多个非线性项引起的复杂性方面提供可借鉴的经验和方法，揭示高次非线性项和低次非线性项各自对孤波解稳定性的影响。更重要的是本项目将对渐近值不为零的孤波解开展轨道稳定性研究，由于现有的Grillakis-Shatah-Strauss轨道稳定性理论是对非线性发展方程的渐近值为零的孤波解建立的，处理的哈密顿系统的系数与波速无关，而我们将要处理的哈密顿系统的系数往往与波速相关。为此我们将对渐近值不为零的孤波解建立新的轨道稳定性的判别理论和方法。本项目的研究成果将丰富孤波解稳定性的理论和方法，促进孤波理论的深入研究和应用。

本项目我们研究了具多个非线性项的发展方程孤波解的轨道稳定性。通过（若干求解方法）直接求出所研方程的精确孤波解来说明孤波解存在性的方法，降低了原先证明方程孤波解存在性时较高的假设要求，从而使Grillakis-Shatah- Strauss轨道稳定性的理论运用于含多个非线性项的发展方程孤波解稳定性的判别成为可能。通过本项目的研究，我们对一大类具多个非线性项的发展方程及其孤波解的轨道稳定性研究，提供了一种可借鉴且较为一般的方法。即若方程的孤波解可求出，且符合Grillakis-Shatah-Strauss轨道稳定性理论的假设，则可求出稳定性判别式d''(c) 的显式，并深入讨论使孤波解轨道稳定的波速区间，以及多个非线性项相互作用对这种波速区间的影响.. 对渐近值不为零的孤波解的稳定性我们也做了大量的探讨。对一大类具耗散作用的发展方程的扭状孤波解，我们找到了一种证明其具渐近稳定性的方法：首先证明所研方程扭状孤波解满足Lax-shock条件和Rankine-Hugoniot条件，特别是先给出这种孤波解的导数 U_{\xi} 和U_{\xi\xi} 的估计，然后运用能量估计方法及Young不等式等，就可能克服方程中既有高阶导数项又有高次非线性项引起的困难，进而证明所研方程扭状孤波解的渐近稳定性。. 本项目对具多个非线性项的发展方程孤波解稳定性的研究给出了范例，并在如何克服由多个非线性项引起的复杂性方面提供了可借鉴的经验和方法，丰富了孤波解稳定性的理论。. 由于自上世纪八十年代以来数学物理学界已求出大量孤子方程的精确显式孤波解，为进一步研究这些已有显式的孤波解的稳定性，我们感到，本项目所提供的方法是值得借鉴和应用的。. 本项目的代表性成果发表于Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Journal of Mathematical Analysis and Applications等国际有影响的学术刊物，合计发表论文27篇，其中SCI收录24篇。