奇非线性波方程的行波解分支与定性分析

The singular nonlinear wave equations are derived from the models of Physics, Mechanics, other natural sciences and Engineering technology. To find solutions and to analyze qualitative properties for nonlinear waves are the forefront and hot topics in the studies of nonlinear science,especially in the studies of soliton theory. This project focuses on the following topics. By using the qualitative theory of differential equations in combination with other methods, we study the dynamic behavior of the orbits of the vector field of traveling wave systems，analyze the impact of the double singular lines on solitons and discover new soliton；Based Congrove's method and the theory of dynamical systems, the exact solutions and qualitative properties of the higher-order nonlinear wave equations are studied; By using the normal form theory, the phase portrait analysis techniques and spectral analysis, the normal form of symmetry breaking branch, symmetry and stability for some class of singular nonlinear wave equations are obtained; The dynamical behavior and the integrability for the singular nonlinear wave equations are investigated by using the dynamical systems theory and the Lie symmetry analysis; When a singular nonlinear wave equation by the traveling wave transformation and the time scale transformation becomes a planar autonomous differential system, we also investigate the intrinsic relations between qualitative properties such as bifurcation of multiple limit cycles of the planar autonomous differential system and the dynamical behaviours of the singular nonlinear wave equation. To study above problems will enrich the theory and the application results of ordinary differential equations, and promote the improvement of related subjects.

奇非线性波方程来源于物理学、力学等自然科学及工程技术中的数学模型，对它的求解和定性分析是非线性科学特别是孤立子理论最前沿的研究课题和热点问题。 本项目利用微分方程定性理论结合其它方法，探讨行波系统向量场轨线的动力学行为，分析双奇异线对孤子的影响，发现新的孤子；以Cosgrove 方法为基础，应用动力系统理论探索高阶非线性波方程的精确求解及定性性质；利用分支的规范型理论、相图分析技术与谱分析，获得几类奇非线性波方程的对称破缺分支的规范型、对称性与稳定性；以Lie对称分析为工具, 应用动力系统方法研究奇非线性波方程的精确解、动力学行为和可积性；进一步研究奇非线性波方程通过行波变换和时间尺度化为平面微分自治系统后，该系统出现多重极限环分支等定性性质与原奇非线性波方程动力学性质之间的内在联系。 上述问题的研究将丰富微分方程的理论和应用成果，促进相关学科的发展。

奇非线性波方程来源于物理学、力学等自然科学及工程技术中的数学模型， 对它的求解和定性分析是非线性科学特别是孤立子理论前沿的研究课题和热点问题。 本项目利用微分方程定性理论结合其它方法，分析行波系统向量场轨线的动力学行为， 分析双奇异线对奇异孤子的影响，发现新的孤子；分析幂零奇点与奇异紧孤子之间的联系。利用动力系统理论研究了几类非线性波方程，研究结果阐述了奇异线与奇异孤子存在紧密联系。通过分析奇异线，我们获得了伪cuspon解和一个新的伪尖孤子; 我们研究一个具有退化色散的非线性波动方程的行波解, 通过分析幂零点，我们发现一些由双曲函数表示的（而不是由著名的三角函数表示的）新的compacton. 以 Lie 对称分析为工具, 研究奇非线性波方程的精确解；我们利用几何奇异摄动理论建立的一个摄动广义BBM方程存在孤立波和周期波，还得到它的波的速度和行波的波长之间的关系; 我们得到了非线性波方程与它的行波方程之间某些动力学性质的联系等等。. 对本项目的研究，共发表相关学术论文23篇，其中被SCI收录20篇。培养硕士研究生13名，送培博士研究生2名。. 本项目所研究的问题是微分方程定性理论的重要课题，项目的研究成果对于微分方程的理论创新及应用具有重要的意义。