高维问题和无穷维问题的构造性算法与信息复杂度

This project focuses on the construction of algorithms for solving high-dimensional and infinite-dimensional problems by using information-based algorithms. The main contents of this project are finding the optimal information and the optimal algorithm for solving these problems under the framework of worst, average, probability and stochastic. At the same time, we study the optimal convergence speed and information complexity (optimal cost) of these problems for different information classes.These research questions have deep theoretical and practical background, which belongs to the cross-field research of multiple branches of mathematics and has become a hot topic in recent years. The research results will play an important role in such fields as mathematical theory, numerical calculation, data and signal processing, statistical learning, neural network design and engineering application.

本项目主要研究利用信息基算法求解高维问题和无穷维问题时的构造性算法. 主要内容是在最坏和平均框架下寻找求解这些问题的最优信息和最优算法, 同时研究这些问题对不同信息类的最优收敛速度和信息复杂度(最优花费). 此类研究问题有着很深的理论意义和的实际背景, 属多个数学分支的交叉领域研究, 已成为近年来热门课题. 研究成果将会在数学理论、数值计算、数据与信号处理、统计学习、神经网络设计、工程应用等领域发挥重要作用.

在现代科学技术和实际问题中所提出的计算问题具有信息量大，精度要求高，速度要求快，尽可能节省内存等特点，反映在数学上就是对依托计算机实施的信息基算法进行研究，寻找最优信息和最优算法，近期高维问题是研究热点. 我们的研究内容包括两方面，一是在一致框架下和平均框架下寻找一些逼近问题的最优算法,；二最在一致框架下和平均框架下构造算法确定一些逼近问题的优误差列和信息复杂度的渐近阶或精确值,并解决信息基复杂性理论中的一些线性多元问题的可处理性问题. 在第一个方面, 我们找到了一些计算 Wirtinger 不等式精确常数的方法，找到了一些精确的Writinger等不等式，在一元情形下找到了一些插值问题的最优解点并确定了最优插值误差的值或样本数，证明了的一些具体算子在某些意义下具有最优性. 在第二方面，对于定义于Hilbert空间上的高维问题，我们讨论了各种易处理性与相应积分型算子的特征值序列之间的关系，得到了一系列的充要条件，并且解决了几个具体问题的易处理性. 这些结果属于多个数学分支的交叉领域研究，有很深的理论意义和广泛的实际背景，将会在数学理论、数值计算、数据与信号处理、统计学习、神经网络设计、工程应用等领域发挥重要作用.