函数逼近论的一些极值问题与多元线性问题的可处理性

Mainly consider several extreme value problems of the linearity and the non-linear function approximation theory of the smooth function spaces defined on some compact sets and the non-compact sets (including some manifolds) as well as some optimal algorithm theory's question, the contents mainly includes best approximation, the width theory, the relative width, the restricted approximation, m-term approximation, and so on some basic questions in the function approximation extreme value theory, as well as information-based optimal recovery, optimal algrithm, tractability of multivarite linear problems in information-based computational complexity, and so on some basic questions in computational mathematics. We predict that the obtained results enrich the approximation theory of functions, also will provide some theoretical bases for the computational mathematics, and provide the mathematical methods for some applied sciences.

主要考虑定义在一些紧集和非紧集（包括一些流形）上的函数空间（包括加权函数空间）中函数集的函数逼近论中几个线性、非线性极值问题以及一些计算复杂性理论问题，内容主要包括最佳逼近、宽度理论、限制逼近、相对宽度、m-项逼近等函数逼近论中极值理论的基本问题，以及信息基的最优恢复、最优算法和信息基计算复杂性理论中的多元线性可处理性等计算数学中的基本问题. 预计所得结果将不但丰富函数逼近理论，且为计算数学提供理论基础，为一些应用学科提供数学方法.

在现代科学技术和实际问题中所提出的计算问题具有信息量大，精度要求高，速度要求快，尽可能节省内存等特点，反映在数学上就是对依托计算机实施的信息基算法进行研究，寻找最优信息和最优算法，近期高维问题是研究热点. 我们的研究内容包括两方面，一是函数逼近论中的一些基本问题, 如一些多变元加权函数空间中的最佳逼近、宽度理论、限制逼近、m-项逼近等极值问题；二是信息基复杂性理论中的一些线性多元问题的可处理性问题，以及最优恢复、最优算法等计算数学中的部分基本问题.在第一方面, 我们找到了计算 Wirtinger 不等式精确常数的一种方法，找到了一些精确的Jackson 等不等式，找到了限制逼近与最优恢复的一些结果，构造了基于标准信息的一些具体算子并证明了其在某些意义下具有最优性. 在第二方面，对于定义于Hilbert空间上的高维问题，我们讨论了各种易处理性与相应积分型算子的特征值序列之间的关系，得到了一系列的充要条件，并且解决了几个具体问题的可处理性. 这些结果属于多个数学分支的交叉领域研究，有很深的理论意义和广泛的实际背景，将会在数学理论、数值计算、数据与信号处理、统计学习、神经网络设计、工程应用等领域发挥重要.