随机树理论在分枝过程研究中的应用

In the past several years, to study branching processes, many useful tools, techniques and ideas associated with random trees have been developed such as spine decomposition, size-biased tree, random snake and historical processes. In this project, we want to develop and use above mentioned tools, techniques and ideas to study branching processes and related models. More precisely, our studying objects mainly include: fractal properties of superprocesses; limit theory of branching random walks; connections between PDEs and superprocesses.

在过去几年中，在研究分枝过程中，很多和随机树有关的工具，技巧和思想得到了发展，比如脊柱分解，有偏树，随机蛇与历史过程等。在这个项目中，我们希望可以发展和运用上述工具，技巧和思想来研究分枝过程以及相关的模型。更具体的说，我们的研究对象主要包括：超过程的分形性质；分枝随机游动的极限理论；超过程与偏微分方程之间的联系。

本项目旨在探讨在分枝过程研究中使用随机树方法来解决一些关键性基本理论问题.本项目主要研究内容包括如下几个部分: 分枝随机游动, Galton-Watson树和Lévy树, 连续状态分枝过程 . 主要成果包括：1. 我们发展了“标记树”的思想，从而完整给出了分枝随机游动经验分布和粒子极大位置的偏差概率的衰减速度；2. 我们发展了新的Galton-Watson树的修剪方法和思想，并证明了相应的分裂树在强拓扑下的极限定理, 部分回答了Bertoin-Miermont提出的公开问题；3. 在连续状态分枝过程方面，我们研究了平稳的过程的家族人口结构和宗谱结构，我们还构造了随机环境下的连续状态分枝过程。