连续状态分枝过程、随机树、系谱树相关问题研究

Continuous state branching processes, random trees and genealogical trees are widely used and ongoing hot topics. In this project, we are going to study some models related to them, e.g. conditioned Galton-Watson trees, pruning Galton -Watson trees, population model with non-neutral mutations, stationary continuous state branching processes, alpha-CIR and regime switching CIR model. In particular, time to the most recent common ancestor (TMRCA) and total length processes are two important quantities in genealogical trees. We are going to first study some properties and limit theorems related to TMRCA and the total length processes for the population model with non-neutral mutations and stationary continuous state branching processes. We then consider the pruning of general Galton-Watson tree and tree-valued process for admissible family. Then the geometric structure of the conditioned Galton-Watson tree will be studied and we will try to find a coalescent structure from some conditioned Galton-Watson tree using pruning procedure. Finally, we are going to study some problems related to extended CIR model, for example pricing the catastrophic put options.

连续状态分枝过程、随机树与系谱树是现今国际上研究的热点问题。本项目中，我们将考虑与其相关的几个模型及其应用，如条件Galton-Watson树、Galton-Watson树的剪切、带非中性突变的粒子模型、平稳连续状态分枝过程、带切换和alpha-CIR模型等。特别地，到最近共同祖先所用的时间(TMRCA)和树的总长度过程(TLP)是系谱树研究中两个重要的变量。在带非中性突变的粒子模型、平稳连续状态分枝过程当中，我们将分别考虑TMRCA和TLP的一些性质和相应的极限定理。然后我们将考虑容许Galton-Watson树的剪切及树值过程。接着我们考虑一类条件Galton-Watson树的几何结构，并利用剪切树的方式从条件Galton-Watson树中构造Beta聚合过程。最后我们考虑将扩展的CIR模型运用到一些金融问题中去，如巨灾看跌期权的定价。

连续状态分枝过程、随机树与系谱树、随机序、几乎随机占优是现今国际上研究的热点问题。本项目考虑了与其相关的几个模型及其应用，特别的，我们研究了平稳连续状态分枝过程、树值马氏过程与其剪切、巨灾看跌期权、非整数值随机占优、一致几乎 n 阶接受占优与高阶 Omega 指数等问题。通过与几位学者的共同合作，我们成功解决了树值马氏过程的剪切问题，得到了一种单调递减的CRT-值过程，我们也可以从临界随机树构造另一个剪切树，并得到二者之间的关系,该结果具有重要的理论意义。然后我们考虑了带跳风险与违约风险的巨灾看跌期权的定价问题, 进一步也考虑了两种风险相依情况下的数值结果。而后，我们建立了连续的高阶随机占优规则，根据人们是风险厌恶还是风险偏好的区别，可以建立两种不同的规则，我们也考虑了其性质和应用。最后，我们得到了一个新的表现指标--n 阶 Omega 指数，我们熟知的 Omega 指数是其 1 阶表现形式。我们不借助于分布形式与效用函数的具体形式就可以得到上面的指标，这是其中十分重要的一个贡献。进一步的，通过引入一个特定的分布排序准则，我们给出了该指标的决策背景意义；我们也给出了该指标的一些性质，包括它对 n 阶随机占优具有单调性，同时它能够给出一个全序。该结果在金融领域具有一定的应用前景。