随机环境中树指标马氏链的极限理论及Markov树在期权定价中的应用

One important and popular research direction of the probability limit theory is tree indexed stochastic process, an interdisciplinary subject, which has wide applications in the fields of biological sciences, computer algorithms,financial engineering and so on. In the project, our purpose is to study the limit theorem for stochastic process indexed by a tree in random environment, and the applications of Markov tree model for option pricing. The followings are three aspects:(1) For tree indexed Markov chains in random environment： We give the definition, and study its equivalence,existence and ergodicity on general state space. We also study strong law of large numbers and asymptotic equipartition property on countable and general state space.(2) For branching Markov chains indexed by a binary tree in random environment: We give the definition, and study its equivalence and existence on discrete state space. We also study strong law of large numbers and asymptotic equipartition property on discrete state space. (3) We study pricing mechanism of barrier options in pricing process of stocks, and the pricing process of stocks is subject to Markov tree. Meanwhile, we illustrate the validity of price for barrier option by empirical analysis. This research can not only enrich limit theory for tree indexed stochastic process, but also provide theory basis for option pricing in financial engineering.

树指标随机过程是概率极限理论的前沿研究方向，属于交叉学科，在生物学、计算机、金融工程等领域有着广泛的应用。本课题主要研究随机环境中树指标随机过程的极限性质以及Markov树模型在期权定价中的应用，主要体现在如下三个方面：（1）给出一般状态下随机环境中树指标马氏链的定义，并研究其等价性及存在性； 研究一般状态下随机环境中树指标马氏链的遍历性；研究可列和一般状态下随机环境中树指标马氏链的强大数定理和渐近等分性。（2）给出离散状态下随机环境中二叉树上分支马氏链的定义，并研究其等价性及存在性； 研究离散状态下随机环境中二叉树上分支马氏链的强大数定理和渐近等分性。（3）研究服从Markov树模型的股票价格过程的障碍期权的定价，通过实证分析说明定价的有效性。本课题的研究不仅能够丰富树指标随机过程的极限理论，而且能为金融工程中期权定价提供理论支撑。

本项目进行了以下研究：1）研究了取值于离散状态的随机环境中树指标马氏链的定义及其等价性；给出了可列状态马氏环境中树指标马氏链的渐近均分性；给出了有限状态马氏环境中Cayley树上马氏链的强偏差定理；给出了有限状态马氏环境中一致有界树上马氏链的强大数定律和渐近均分性；2）给出了一般状态随机环境中马氏链的定义、等价性及存在性，该定义推广了树指标马氏链及随机环境中马氏链的定义，同时研究了一般状态下随机环境中树指标马氏链的延迟和的一类极限性质；3）给出了可列状态单无限马氏环境中马氏链的渐近均分割性；同时也给出了双无限环境中马氏链的若干延迟和的强极限定理；以及单无限马氏环境下可列齐次马氏链的一类强偏差定理；4）研究了连续状态非齐次马氏链的延迟和的强大数定律以及可列状态非齐次马氏链的强大数定律。本项目中我们对Markov树模型的股票价格过程的障碍期权的定价研究没有取得突破，我们希望能继续得到国家自然科学基金的资助，以便我们能在这方面能够取得一些进展。本项目已经发表或录用论文12篇，其中SCI收录11篇。