与非线性分析问题相关的函数空间实变理论和算子性质

The real-variable theory of function spaces and the behaviors of operators on function spaces serve as one of the central topics in harmonic analysis, and they provide important working spaces and methods for the study of many problems arising in mathematics and physics. In particular, the behaviors of pointwise multipliers and superposition operators on function spaces have played key roles in the study of some non-linear partial differential equations. The applicant and his collaburators have studied the set of smooth pointwise multipliers on various Morrey type spaces and the characterization of pointwise multipliers over some Besov and Triebel-Lizorkin spaces on metric measure spaces. Based on these, this project aims to give the characterization of pointwise multipliers on John-Nirenberg spaces and BMO type spaces on Euclidean spaces and domains with its applications in some bilinear decomposition problem; to develop the real-variable theory of some new Campanato spaces on domains as well as its applications for characterizing fractional perimeters; to find the characterization of the pointwise multiplication algebra properties of fractional Sobolev, Besov and Triebel-Lizorkin spaces on domains via the geometrical condition of the boundary; and to characterize the mapping behaviors of superposition operators on Sobolev spaces on metric measure spaces.

函数空间实变理论及其上的算子性质是调和分析的核心研究内容之一, 并为数学和物理中许多问题的研究提供了重要的工作空间、工具和方法. 特别地, 点态乘子和复合算子在函数空间上的作用性质是某些非线性偏微分方程研究的关键工具. 申请人及其合作者已研究了各种Morrey型空间上的光滑点态乘子及度量测度空间上某些Besov和Triebel-Lizorkin空间的点态乘子集的刻画. 在此基础上, 本课题拟进一步研究欧氏空间和区域上John-Nirenberg空间和BMO型空间的点态乘子集的刻画及其在双线性分解问题中的应用、区域上Campanato型空间的实变理论及其在分数次周长刻画中的作用、区域上的分数次Sobolev、Besov和Triebel-Lizorkin空间在点态乘积意义下的代数性质与区域边界几何条件的相互刻画关系以及度量测度空间上Sobolev空间在复合算子作用下的各种性质的等价刻画.

函数空间实变理论是现代调和分析的中心内容之一，在算子有界性和偏微分方程等领域均有广泛应用。本项目研究了多种底空间上的函数空间及其应用问题, 包括完全刻画了Zygmund空间上的点态乘子集和B空间及其子空间上复合算子的封闭性和连续性; 引进了各向异性混合范数Campanato空间及相关于球拟Banach空间的Campanato空间并建立了相关的对偶理论; 引进了经典John-Nirenberg空间的VMO和CMO型子空间并建立了相关的振荡极限特征刻画; 引进了John-Nirenberg-Campanato空间及其全等变形并建立了多种实变特征, 以此获得了其上奇异积分算子和分数次积分算子的有界性；完整解决了Bonami-Iwaniec-Jones-Zinsmeister提出的经典Hardy空间与局部Hardy空间的双线性分解问题; 利用指数衰减的恒等逼近引入了一般齐型空间上的Hardy空间并建立了多种实变特征，由此彻底回答了Coifman-Weiss关于齐型空间上Hardy空间径向极大函数特征刻画的公开问题；系统发展了欧氏空间上与Orlicz-slice空间及球拟Banach函数空间相关的Hardy型空间, 以及各向异性欧氏空间上的混合范数Hardy型空间的实变理论，回答了多个混合范数Hardy型空间的相关公开问题；引入和发展了对数Sobolev空间与Sobolev容量, 并在对数光滑性情形下建立了Alexanderov曲率定理; 建立了欧氏空间上具有一般光滑性指标的Besov空间和Triebel-Lizorkin空间的点态特征刻画和区域延拓性质刻画; 用测度所反映出的区域边界的几何条件完全刻画了拟度量测度空间上Hajlasz型Besov和Triebel-Lizorkin空间的嵌入性质和延拓性质; 在不附加更多几何条件的一般齐型空间系统建立了Besov和Triebel-Lizorkin空间的小波特征刻画和点态特征刻画；研究和建立了(多线性)分数次积分算子和交换子在Lebesgue和Hardy型空间上的有界性；发展了齐型空间上一套由具有指数衰减的恒等逼近定义的仿积算子的有界性理论，证明了仿积在Hardy空间上的有界性；建立了有界Lipschitz区域和有界(拟)凸区域等区域上某些散度型椭圆方程边界值问题的解的梯度估计。这些结果已发表于54篇学术论文。