新Besov型和Triebel-Lizorkin型函数空间理论

函数空间实变理论是调和分析的重要组成部分,数学与物理中的许多问题均能归结为研究某些函数空间的实变理论及其上算子的有界性质.申请人及其合作者近年来引进了一类新的Besov型和Triebel-Lizorkin型函数空间,这类新的函数空间将Besov和Triebel-Lizorkin空间、Morrey和 Campanato空间及Q空间这三个不同的函数空间发展方向纳入到了一个统一的研究框架.本项目拟进一步完善和发展这些新的Besov型和Triebel-Lizorkin型函数空间实变理论,其中包括建立这些函数空间的各种极大函数和局部平均等实变特征刻画，研究相关的紧嵌入及熵数和逼近数的渐进性态;发展这些新函数空间在区域上的相应理论、并研究与之相关的迹性质和扩张问题; 同时也建立这些新函数空间理论在各向异性欧氏空间和度量测度空间上的推广; 并将考虑包括奇异积分、伪微分算子等算子在这些函数空间上的有界性.

数学和物理中的许多问题最后都可以归结为研究某些算子在函数空间上的有界性, 这些有界性的获得往往依赖于相应函数空间的实变理论. 本课题系统地研究了欧氏空间上的Besov型和Triebel-Lizorkin型函数空间的实变理论: 建立了这些空间的的多种极大函数和局部平均等实变特征, 获得了这些空间的嵌入性质并得到了相应的熵数和逼近数估计, 并建立了它们的插值性质; 此外, 给出了Besov型和Triebel-Lizorkin型空间径向子空间中函数在原点和无穷远处衰减性的精确估计; 基于Musielak-Orlicz空间理论, 发展了Musielak-Orlicz-Besov型和Musielak-Orlicz-Triebel-Lizorkin型空间的实变理论; 利用Peetre极大函数, 系统发展了一套不基于极大函数有界性的广义Besov型和Triebel-Lizorkin型函数空间理论; 发展了各向异性欧氏空间上的Musielak-Orlicz-Hardy空间实变理论; 系统研究了度量测度空间上的Morrey-Sobolev空间理论; 获得了非齐型空间上奇异积分算子和广义分数次积分的多线性交换子的有界性. 这些结果为调和分析和偏微分方程等学科中的相关问题的研究提供了新的工作空间和方法.