基于Morrey空间的函数空间实变理论及其应用

Many important problems arising in mathematics and physics can be reduced to consider the boundedness of some operators on function spaces, and the characterization of these boundedness relies on the real variable theory of the related function spaces. The applicant and his collaborators have partly developed a theory of Besov-type and Triebel-Lizorkin-type spaces on Euclidean spaces and found some of its applications. This project is devoted to complement and develop the real variable theory of some function spaces based on Morrey spaces, including Besov-type and Triebel-Lizorkin-type spaces on Euclidean spaces and metric measure spaces, which contains the following main contents: giving an exact description of the class of pointwise multipliers on these spaces based on Morrey spaces on Euclidean spaces; developing Besov-type and Triebel-Lizorkin-type spaces with variable exponents on metric measure spaces; establishing the real variable theory of operator-valued Besov-Morrey spaces on Euclidean spaces and the related operator-valued Fourier multiplier theorem; developing the real variable theory of Besov-type and Triebel-Lizorkin-type spaces on metric measure spaces associted with operators whose heat kernals satisfy certain Gaussian upper bound estimate, Holder continuity, and the stochastic completeness property, and prove the boundedness of some related Riesz transforms and spectral multipliers on these spaces.

数学与物理中的许多重要问题均可归结为研究某些算子在函数空间上的有界性,而刻画这些算子的有界性依赖于相应函数空间的实变理论.申请人与合作者已部分发展了欧氏空间上的Besov型和Triebel-Lizorkin型空间实变理论及其应用.本项目拟进一步完善和发展含欧氏空间在内的度量测度空间上基于Morrey空间的各种函数空间如Besov型和Triebel-Lizorkin型空间等的实变理论,其中包括刻画欧氏空间上这些函数空间的点态乘子、发展度量测度空间上变指标Besov型和Triebel-Lizokrin型空间实变理论、发展欧氏空间上向量值Besov-Morrey空间实变理论并建立相关向量值Fourier乘子定理、建立度量测度空间上相关于热核满足高斯型上界估计、H?lder连续性及统计完备性的算子的Besov型和Triebel-Lizorkin型等空间的实变理论并应用于相关黎斯变换和谱乘子的研究.

函数空间与算子有界性理论是现代调和分析的核心研究领域之一，在偏微分方程和位势理论等学科中也有重要应用。本项目研究了多种背景下的函数空间实变理论及其在算子有界性研究中的应用，包括: 找到了(加权)Besov型空间和Triebel-Lizorkin型空间之间相互嵌入关系的最佳指标条件并获得了相关连续包络的精确估计; 给出了Morrey空间和Morrey光滑空间(包括Besov-Morrey空间、Besov型空间和Triebel-Lizorkin型空间)的空间插值性质, 完整回答了Morrey空间的插值问题; 获得了Sobolev空间和具有正光滑性指标的Besov型空间和Triebel-Lizorkin型空间等光滑性空间的多种球平均特征刻画, 为在度量测度空间上引入这些空间提供了新的方法; 结合变指标函数空间理论的发展，引入和发展了变指标的Besov型和Triebel-Lizorkin型空间以及更一般的具有2-microlocal光滑性的变指标的Besov型和Triebel-Lizorkin型空间，系统给出了这些函数空间的多种实变特征刻画及其在奇异积分算子有界性方面的应用; 系统建立了相关于算子的Besov型和Triebel-Lizorkin型空间的实变理论; 获得了各向异性欧氏空间上的Hardy-Lorentz空间、变指标Hardy空间和混合模Hardy空间的多种实变特征刻画并用于算子有界性研究; 建立了度量空间上Hajłasz–Besov空间和 Hajłasz–Triebel–Lizorkin空间的Franke–Jawerth型嵌入定理并由此刻画了这些空间上的点态乘子类; 引入了高斯测度空间上的Sobolev容量并用以在该背景下证明了等容量不等式和Sobolev-Poincaré不等式的经典等价关系; 给出了Riesz位势算子从Morrey和Morrey-Hardy空间到相关于一个Rodan测度的Radon-Morrey-Campanato空间有界性的充分必要条件; 建立了非齐型空间上有奇异积分算子与BMO-Orlicz函数生成的(多线性)交换子在Lebesgue和Hardy空间上的多种强型和弱型有界性。这些结果已发表于48篇SCI论文和1本Springer出版社《Lecture Notes in Math.》系列专著。