具有两类扩散效应的 Keller-Segel 方程组

In this project we will study Keller-Segel equations with two classes of diffusion，namely, local and nonlocal nonlinear diffusions. The Keller-Segel system is widely used to describe the collective motion of cells or the evolution of the density of bacteria. Our first target is to study multi-dimensional degenerate K-S system. Although there have been lots of results on multi-dimensional degenerate K-S model recently, the basic problem such as the initial criteria for the high dimension case is still far from complete. The main difficulty comes from the different forms of the Hardy-Littlewood Sobolev inequality between two and multi-dimension cases. It is very important and interesting to find an appropriate description for the initial data to distinguish global existence and blow-up of solutions. We have found such a new criteria and got some interesting results in the critical exponent case. Part of the project will be focused in going further in this direction for the multi-dimensional system. The second topic of this project is to study a general K-S system with the fractional order diffusion, which is a new class of nonlocal diffusion model. We will work on the global existence and blow-up behavior of the solutions. We will also compare the properties of solutions between these two classes of K-S models (the one with local diffusion and the one with nonlocal nonlinear diffusion). This would also be interesting and helpful in the related topics in mathematical biology.

本项目拟研究具不同扩散效应的两类Keller-Segel方程组，可用于刻画细胞群体运动状态或浓度变化过程。与二维情形不同，高维退化K-S方程组的研究尚很不完善，例如初始临界值这样的基本问题至今没有完整结果，其本质困难在于高维与二维Hardy-Littlewood Sobolev 不等式的本质差别。有趣的是如何去寻找新的恰当尺度以确定高维问题解的初始临界值。我们最近刚找到一个新的度量尺度，并取得高维初始临界质量的部分结果。我们将以这个新尺度作为切入点，力争对高维临界初始质量取得新突破和更丰富结果。本项目另一内容是研究分数阶扩散K-S模型（近来倍受关注的非局部非线性扩散K-S模型），并进一步比较两种扩散机制下K-S模型解的性质的异同。由于分数阶扩散使通常的分部积分失效，常规的利用二阶距证明blow-up 的方法也无法使用，这也将是颇具挑战性的有趣问题。

本项目主要研究了具有不同扩散效应的 Keller-Segel 方程组，它们可用于刻画细胞群体运动状态或浓度变化过程。首先，应用 Hardy-Littlewood Sobolev 不等式，重点研究了高维退化扩散抛物-椭圆 Keller-Segel 方程组解的最佳初始临界，用以区分该模型解的整体存在与有限时刻 Blow-up。有趣的是我们应用了一个新的尺度（即解的 L^{2n/(n+2)} 模）去衡量高维问题解的最佳初始临界值。针对不同的扩散指标，我们找到了 L^{2n/(n+2)} 模意义下的最佳初始临界，同时应用最优传输理论证明了此类模型解的唯一性。关于退化扩散抛物-抛物 Keller-Segel 方程组，我们发现最佳初始临界与 Sobolev 不等式的最佳常数有密切关系。其次，本项目考虑了分数阶扩散Keller-Segel 模型，给出了解整体存在与 Blow-up 的最佳初始临界，这是近年来倍受关注的非局部非线性扩散问题。同时，我们应用简单的超压缩性质及半群理论证明了具线性扩散 Keller-Segel 方程组解的唯一性。通过具有不同扩散效应 Keller-Segel 模型的研究，我们发现扩散效应不同，会使研究模型的方法和处理技巧不同，但它们整体结构是相通的，都借助于泛函不等式的最佳常数给出最佳初始临界。基本达到了申请项目时的预想，找到一个统一的思想，去处理 Keller-Segel 方程组问题。进一步，我们将此研究想法应用于来自物理学的薄膜方程。应用一维 Sz. Nagy 不等式证明了一维具有长波不稳定项的薄膜方程解的最佳初始临界。进一步，证明了高维具最佳常数的 Sz. Nagy 不等式，并用它给出高维薄膜方程解的最佳初始临界。