临界点理论和椭圆型偏微分方程

There is a wide background for calculus of variations, which is one of the main research areas in mathematics. From the middle of the last century, calculus of variations, having ideas from functional analysis, dynamic systems, algebraic topology, and differential topology incorporated in the process of its development, has gradually evolved into advanced calculus of variations, which is also called critical point theory. In the study of elliptic partial differential equations and Hamiltonian systems, critical point theory has played a very great role. In this project, we plan to use critical point theory together with topological degree theory, regularity theory for equations, maximum principle, sub- and super-solutions theory, concentration compactness principle, and perturbation methods to study existence and multiplicity of solutions to several classes of elliptic partial differential equations. We plan to study existence of multiple solutions to a class of quasi-linear elliptic equations with which the associated functional is only a formal functional, and this functional is not differentiable if the space of domain is large while it does not have compactness if the space of domain is small. We plan to study existence of positive solutions and existence of multiple sign-changing solutions to a class of Schroedinger equations containing integral terms. We also plan to study existence of fully nontrivial solutions to a class of Schroedinger systems consisting of at least three equations and having non-constant potentials. There is no standard method for these studies. New ideas must be introduced and a series of technical difficulties should be circumvented in the process of implementation of this project.

变分方法有广泛的实际背景，是数学的主要研究领域之一。上个世纪中期以来，变分方法在发展过程中，吸收泛函分析、动力系统、代数拓扑和微分拓扑的思想，逐渐演变成现代变分方法，也就是临界点理论。临界点理论在椭圆型偏微分方程和哈密顿系统的研究中，发挥了巨大的作用。在本项目中，我们将把临界点理论与拓扑度理论、方程正则性理论、极大值原理、上下解理论、集中紧性原理、扰动方法等结合起来，研究几类椭圆型方程解的存在性和解的多重性。我们将研究一类拟线性椭圆型方程多重解的存在性，这类方程对应的泛函只是形式泛函，它在大的函数空间中没有关滑性，在小的函数空间中没有紧性。我们将研究含有整体项的薛定谔方程正解的存在性和多重变号解的存在性。我们将研究由三个以上方程构成的具有变系数的薛定谔方程组完全非平凡解的存在性。研究这些问题，没有现成的方法。在项目执行过程中，必须引入新思想，并克服一系列技术难点。

变分方法有广泛的实际背景，是数学的主要研究领域之一。上个世纪中期以来，变分方法在发展过程中，吸收泛函分析、动力系统、代数拓扑和微分拓扑的思想，逐渐演变成现代变分方法，也就是临界点理论。临界点理论在椭圆型偏微分方程和哈密顿系统的研究中，发挥了巨大的作用。在本项目中，我们将临界点理论中经典的克拉克定理做了改进，证明一个新的临界点定理，将此定理应用于具有非常强退化性的椭圆型方程，得到无穷多个解的存在性。对于一类定义域有非平凡拓扑的薛定谔方程组，通过构造高维环绕，我们证明有三个正解。对于分量之间相互排斥、由任意多个薛定谔方程耦合的方程组，我们证明有变号解，其每个分量的变号次数恰好是预先任意给定的非负整数。在势函数适当小的假设下，我们证明一类具有临界指数的椭圆型方程组有正解。我们研究了非线性特征值问题向线性特征值问题的过度，刻画了此过程中的消失和爆破等现象。我们还证明了一类Choquard方程具有无穷多规范解。上述问题的解决，没有现成的方法，我们在研究过程中，引入新思想和新方法，并克服一系列技术难点，这些新思想和新方法，对于其它问题的解决将起借鉴作用。