临界点理论中几个重要问题

临界点理论是非线性泛函分析中的主要理论之一，是现代数学的重要研究领域。半个世纪以来, 临界点理论得到了飞速发展，在微分方程理论中有越来越广泛和深入的应用。由于临界点理论的介入，微分方程，特别是非线性椭圆型偏微分方程和Hamilton系统得到了深入研究，在解的存在性和解的个数方面出现了许多非常漂亮的结果。当前国际上临界点理论的热点研究问题包括：非线性椭圆型偏微分方程解的形状、变号解的存在性和个数、变号解nodal域的个数和形状、N-体问题的中心构型的个数等。本项目将利用非线性泛函分析方法特别是临界点理论来研究这些问题。与椭圆型方程的正解相比较，变号解有更丰富的数学性质，但是由于变号解的这些性质还没有充分地展现出来，因此值得研究。N-体问题的中心构型在天体力学中是一个长期没有得到解决的问题，因此也是具有挑战性而值得研究的问题。