高阶椭圆型偏微分方程的有限元理论和高阶相场模型中的应用

The finite element methods (FEM) for high-order elliptic equations are of great theoretical value in finite element theory. The construction and implementation of FEM, however, are increasingly daunting with the growth of dimension and order of equation. On the other hand, as higher-order elliptic operators appear more and more frequently in mathematical modeling, related studies on the numerical methods are also of increasing practical value. In this proposal, we will study the FEM for high-order elliptic equations at both theoretical and practical levels. The specific research content covers four aspects: (1) Constructing the lowest order nonconforming FEM for high-order elliptic equations on both simplicial grids and structure grids; (2) Establishing the high-order internal penalty nonconforming FEM for solving the high-order elliptic equations; (3) Designing the numerical methods for the generalized Stokes problem in virtue of the proposed nonconforming FEM; (4) Applying the FEM to higher-order phase field equations to obtain the efficient schemes which preserve the mass conservation and energy stability.

高阶椭圆型方程的有限元方法在有限元理论方面有着重要价值，其构造和实现的难度随着方程阶数和空间维数的增加而急剧增加。另一方面，随着高阶椭圆型算子在越来越多数学模型中的出现，相关研究有着越来越广泛的应用价值。本项目将在理论和应用两个层面研究高阶椭圆型方程的有限元方法。具体研究内容涵括四个方面：（1）构造高阶椭圆型方程在单纯形网格和矩形网格上的最低阶非协调有限元；（2）对问题的双线性形式采用内罚法，建立求解高阶椭圆型方程的高阶内罚有限元方法；（3）利用构造的有限元，设计求解广义Stokes问题的数值方法；（4）将有限元方法应用于高阶相场方程中，构造质量守恒和能量稳定的高效数值方法。

自有限元方法诞生以来，二阶椭圆型偏微分方程一直是其重要的研究对象。本项目以高阶方程及其在相场模拟中的应用为出发点，探索了几类非传统问题的有限元方法，发展了一些新型的分析工具，为算法的实际应用提供理论保证。项目资助期间，在高阶方程方面取得的研究成果包括：对二阶椭圆方程各种有限元方法进行了统一研究，发现了离散问题中两种关于参数一致的极小-极大条件，从而得到一类有限元方法的误差分析框架，并发现了一种混合型间断有限元方法，将其应用于线弹性问题；将非协调Morley元用于Cahn-Hilliard方程中，结合离散谱估计，证明了其在界面宽度趋于0时收敛到Hele-Shaw流；对于非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程，发展了无参数的稳定有限元方法，该方法对近似奇异问题亦表现优异。另外，本项目探索了时空分数阶和随机等新型问题的数值方法，研究成果包括：给出了带乘性随机项的波动问题的有限元方法和误差估计；对高阶时间离散格式提出了一种时间并行算法，在可使用多计算资源时大大提高数值模拟效率；对空间分数阶问题给出了一般Lipschitz区域下的单调离散格式，并基于正则性结果分析了其最优收敛阶。