关于几类非线性椭圆型偏微分方程的理论研究

非线性椭圆型方程在现代偏微分方程的研究中占有重要地位，因为这些方程涉及到大量具有实际背景的问题, 在流体力学、几何学、物理、工程、生物学中大量出现（如物理中的非线性 Schrodinger 方程或几何中给定数曲率问题，流体力学中的Navier-Stokes方程）。另一方面，在对这些问题的研究中，对数学本身也提出了许多挑战性的问题。.本项目主要研究带有Hardy项和临界指数的半线性椭圆型方程、具有强不确定性结构的Hamiltonian型方程组和定常的Navier-Stokes方程,重点探讨这些方程解的结构和性质（存在性、唯一性和渐近性等）。其研究方法主要是现代偏微分方程理论和非线性分析中的度理论、变分理论、惯性流形方法等。这些都是非常基本的、也是大家十分关注的问题。

在过去的三年中，主持人及项目组成员积极围绕项目研究计划要点展开了系统、深入地研究，研究工作基本上是按照原计划完成的，总体上讲，进展是顺利的。到目前为止，共在国际学术刊物上发表学术论文5篇，包括 Journal of Mathematical Analysis and Applications, Acta Mathematicae Applicatae Sinica, Acta Mathematica Scientia, Mathematical Methods in the Applied Sciences 等国际知名杂志；另外出版专著2部，基本实现了本项目的预期目标。. 本项目主要对几类经典非线性椭圆型偏微分方程的理论进行了系统的深入研究。对两类带有临界指数的半线性和拟线性位势型椭圆方程，证明了无穷多解的存在性，这是很多年都未能解决的公开问题，也是当前国内外关注度非常高的一个研究热点。对一类带有临界指数和强奇异项的半线性椭圆方程，建立了非平凡解的存在性，以及利用迭代技巧，给出了解的奇性阶数精确估计。对一类非齐次的、带有能量临界指数、聚焦的非线性Schrodinger方程，建立了解的整体存在性和爆破准则。