奇异算子及相关半线性椭圆问题的奇性研究

In this project, we study the singularities of several kinds of singular operators and related semilinear elliptic problems, including the expression of fundamental solutions, the classification of singular solutions, the existence, uniqueness and asymptotic behaviors of singular solutions. Through the study of these issues, we hope it is able to reveal the influence of the singular properties of elliptic operator on the singularities of solutions to the related elliptic equations, to find some methods and techniques that solve singular elliptic problems, and to enrich basic theory analysis and nonlinear elliptic equations.

本项目拟研究几类奇异算子及相关半线性椭圆问题的奇性，包括基本解的表达方式、奇性解的分类以及孤立奇性解的存在性、唯一性和渐近性态等。我们希望通过对这些问题的研究，可以揭示椭圆算子的奇异性质对椭圆问题解的奇性的影响；可以得到解决一些奇异椭圆问题的方法和技巧，丰富非线性分析和椭圆方程的基本理论。

本项目主要讨论了奇异算子及相关的半线性椭圆偏微分问题的奇性，这里包括基本解的表达方式、奇性解的分类以及孤立奇性解的存在性、唯一性和渐近性态等。具体来说，我们首先考虑了带Hardy算子的椭圆问题，研究了其孤立奇性解，并给出了奇性解的分类；然后我们讨论了在外区域上的半线性椭圆问题，高斯曲率方程，Lane-Emden方程等等。. 我们利用迭代的方法获得了带Hardy算子的椭圆问题的奇性解，并给出了奇性解的分类。我们常常通过上下解的方法得到了方程的解。我们采用Kelvin变换和反证法证明了在外区域上的半线性椭圆问题解的不存在性等。.