具梯度项和源的退化和奇异性抛物方程的研究

本项目主要研究具梯度项和非线性源的退化和奇异性抛物方程，这类方程具有广泛的应用前景，是偏微分方程领域中关注的热点问题之一。其主要内容包括：1）研究解的最优存在性，其中初值为Radon测度；2）研究梯度项和非线性源对解的整体存在与非存在性以及解的性态等方面的影响。研究这类问题会遇到的困难有：退化性或奇异性使得方程不具有经典解、梯度项和非线性源的存在可能对解的存在性和解的性态产生本质性的影响等。希望在前人工作的基础上，结合我们已有的研究成果，利用正则化问题逼近、先验估计以及实分析的方法克服这些困难，对具有退化性或奇异性的抛物方程作进一步的探讨。

本项目按原计划顺利完成，研究结果主要分为三个方面：1）研究具梯度项的发展p-Laplace方程的Cauchy问题，得到了解的局部存在、整体存在与非存在性。此结果已被SCI期刊“Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A-Mathematics”所接受；2）分别研究了具梯度项的奇异性多孔介质方程和具时间依赖源项的退化多孔介质方程的Cauchy问题，得到了测度初值解的最优存在性。这两个结果分别发表在SCI期刊“Journal of Mathematical Analysis and Applications”和国内核心期刊“山东大学学报（理学版）”；3）在1）和2）工作的基础上，进一步研究了具耦合源的发展p-Laplace方程组的Cauchy问题，得到了解的局部存在、整体存在与非存在性。此结果已发表在SCI期刊“Nonlinear Analysis”。