非线性发展方程的不变集分支理论及其应用

This project is mainly devoted to the research of some problems concerning dynamic bifurcation theory and its applications of dynamical systems and nonlinear evolution equations in terms of invariant-set bifurcation. (1) For autonomous systems, we first introduce the notion of minimal global invariant-set bifurcation branch and establish some refined global dynamic bifurcation theorems. Then we try to establish attractor bifurcation theorem and global invariant-set bifurcation theorems for nonlinear evolution equations in ordered Banach spaces. (2) Making use of the natural relationship between Conley index and topological degree, we establish index theorems on invariant sets and obtain new static bifurcation results. In particular, we give some global static bifurcation theorems under appropriate assumptions in case the "crossing-odd multiplicity condition" is not fulfilled. (3) For nonautonomous systems, we first introduce the notion of bifurcation interval and formulate new phase space. Then we establish some primary results on local and global dynamic bifurcations of the systems by using uniform expotential dichotomy spectrum and invariant manifolds. (4) We revisit the problem of static bifurcation of operator equations from the point of view of dynamic bifurcation theory, discuss the dynamics and bifurcation of elliptic equation, Schrodinger equation and hyperbolic equation. The persistence and extinction of biological species will also be addressed from the point of view of attractor bifurcation and global invariant-set bifurcation in ordered Banach spaces.

该项目拟从不变集理论的角度来研究非线性发展方程的动态分支理论及其应用等方面的一些问题。 一、对自治方程，引入极小全局不变集分支概念，建立更为精细的全局不变集分支定理；在方程的主算子具有非紧预解式的情形，建立局部不变集分支定理，并在其局部半流具有渐近紧性的情形建立全局不变集分支定理；建立序空间中的吸引子分支和全局不变集分支定理。二、利用Conley指标与拓扑度之间的自然联系建立不变集上的指标定理，并结合不变集分支定理得到新的静态分支结果；特别，在无“跨奇数重特征值”条件的情形建立全局静态分支定理。三、对非自治方程，利用指数二分谱和不变流形方法初步建立不变集分支的一般结果，为进一步发展非自治系统的分支理论奠定基础。四、从不变集分支角度深入研究算子方程的分支问题，椭圆方程、薛定谔方程和波方程的分支与共振问题；利用序空间中的吸引子和不变集分支定理讨论生物种群的持久性与灭绝等问题。

该项目拟从不变集分支的角度研究动力系统和非线性发展方程的动态分支理论及其应用等方面的问题。历史上，动态分支理论的工作最早可以追溯到Poincaré 1892 年前后的工作。经过一百多年的发展，很多方面已经形成了深入而又完整的理论体系。但由于非线性问题自身的复杂性，现有的理论和方法还远不足以为解决自然科学、社会科学和工程技术等领域源源不断的新问题提供足够的数学工具。该项目侧重于从不变集理论的角度来研究非线性发展方程的动态分支理论及其应用等方面的一些问题，研究内容包括自治系统的局部与全局不变集分支定理；序空间中的吸引子分支和全局不变集分支定理及其应用；不变集上的平衡点指标定理与静态分支；对非自治发展方程的不变集分支定理；椭圆方程、薛定谔方程和波方程的分支与共振问题。经过历时四年多的研究，已经基本完成了项目既定任务的主要内容，在下述几个方面取得了比较满意的成果：. 一、建立了Banach空间中非线性发展方程的全局动态分支定理，并由此获得了椭圆方程全局分支的系列全新结果（部分成果见JDE2021等）。二、完整地建立了不变集平衡点指标定理，给出了平衡点指标在不变流形上的约化定理，由此结合Conley指标建立了跨偶数重特征值条件下的大范围静态分支定理，并将其用于研究椭圆方程在跨二重特征值条件下的全局分支分体的研究。这一部分工作目前已经整理完成，准备投稿阶段 (早期版本可见https://arxiv.org/abs/1901.06463)。三、建立了序空间中的局部与全局不变集分支定理，并将其用于研究生态系统的再生数问题，对不具有单调性的系统从不变集分支角度提出了一个一般的理论基础；从不变集分支角度讨论了椭圆方程正解与变号解的分支问题。相关成果已经系统地总结在贾莫博士的毕业论文中，部分已被 Top. and its Appl. 等杂志接收待发。四、在非预解紧算子和薛定谔方程的分支问题的研究方面取得了一定的进展，部分成果已经发表（见NA2021等）。. 项目执行期间团队成员共发表国际SCI期刊论文20余篇，其中17篇为基金资助论文，另有多篇基金资助论文已投 Indiana Univ Math. J.，JDE，Nonlinearity等国际知名杂志；依托项目研究培养毕业博士生6名；资助青年教师出国访问2人；邀请国内外专家线下、线上讲学近30人次。