动力系统不变集分支的形理论表示及其应用

In this project, we mainly use the topological method of shape theory to study bifurcation problems of invariant sets for dynamical systems. First, we will consider a continuous family of dynamical systems, and discuss the invariance of shapes of their invariant sets. By the invariance of the shape, we can deduce the invariance of connectedness, dimension and inner structure of invariant sets, and then give more exquisite consequences of bifurcation of invariant sets. Secondly, we consider the bifurcation problems of invariant sets of resonant equations, give the bifurcation results by shape index and give more specific bifurcation of equilibria by the shape invariant --- Cech cohomology groups. We apply this result to solving the solution bifurcation problems of nonlinear Laplacian equations (and some more general functional equations), and obtain such a conclusion that, when the parameter passes through an eigenvalue of the Laplacian (or functional) operator, there will always appears three nontrivial solution bifurcations on the left or right side of this eigenvalue.

该项目主要用形理论的拓扑方法，来研究动力系统的不变集分支问题。第一，我们考虑一动力系统的连续族，假设其不变集的Conley指标随参数连续变化保持不变，我们来讨论不变集的形的不变性。利用形的不变性，刻画不变集的连通性、维数及内部结构等的不变性，以此来给出不变集更精细的分支结果。第二，我们考虑共振方程的不变集分支问题，利用形指标给出系统的不变集分支，再利用形不变量---Cech上同调群具体地给出系统的平衡解分支的结果。我们将这个结果应用于处理非线性Laplace方程（及一些更广泛的泛函方程）的解分支问题，得出当参数跨越任一Laplace（或泛函）算子特征值时，系统总会在特征值的左侧或右侧分支出三个非平凡的解。

分支问题一直是动力系统研究中最重要课题之一。解分支、吸引子分支都已有了较多的理论成果，而更为一般的不变集分支，还处在初步的研究阶段。主要原因是不变集的拓扑结构较为复杂，不容易刻画。本项目主要研究形理论等拓扑方法在动力系统不变集分支问题中的应用。首先我们建立了紧生成形指标理论，不但使指标的计算更为灵活，还能用于研究时滞系统的不变集分支问题，更加深了对不变集形性质的理解。其次，我们建立了动力系统不变集指标偶的相对畴数与其Morse集的畴数之间的不等式关系，可以用于研究发展方程平衡点（周期解）分支；结合Conley指标，还可以给出由自治系统平衡点分支出的非自治系统回复解的最少个数结果。另外，为了从不变测度的角度研究不变集分支的问题，我们还研究了（时滞、非自治、随机）动力系统的不变测度存在性问题，为研究不变测度的分支问题奠定了一定基础。