非线性双曲守恒律系统的一类新型狄拉克激波及其相关问题研究

Delta shock wave is a kind of nonlinear nonclassical wave, it is interpreted as the process of formation of the galaxies in the universe, or the process of concentration of particles. At present, investigations on delta shock waves have mostly been focused on the case that only one state variable develops the delta function and the others have bounded variations. In this project, we will pay attention to delta shock wave with delta function in both state variables. For two classes of hyperbolic systems of conservation laws containing equations of nonlinear chromatography and geometrical optics, the stability for this kind of delta shock wave will be concerned. Based on this, the Riemann problem with initial data containing delta functions and interactions of delta shock wave with classical waves will be studied. Finally, the numerical simulations coinciding with theoretical analysis will be presented.

狄拉克激波是一种非线性非古典波，可以用来解释宇宙中星系的形成过程或者粘性粒子质量集中的过程。目前，涉及狄拉克激波的研究成果主要集中在只有一个状态变量包含δ函数，其余状态变量都是有界变差函数的情形。本项目将研究重心放在两个状态变量同时包含δ函数的狄拉克激波上。拟针对包含非线性色谱方程组和几何光学系统在内的两类双曲守恒律系统，重点研究此类狄拉克激波解的稳定性。在此基础上，进一步考虑初始值包含δ函数的黎曼问题以及此类狄拉克激波与古典波的相互作用，并给出相应的数值模拟。

狄拉克激波的研究是非线性双曲守恒律领域的热点问题之一。本项目针对几类典型的守恒律系统，主要研究了两个状态变量同时包含δ函数的狄拉克激波解的稳定性，以及此类狄拉克激波与初等波之间的相互作用问题。它们在构建非线性双曲守恒律系统的一般理论方面起到了重要作用。. （1）以包含非线性几何光学系统和非线性色谱方程组在内的两类双曲守恒律系统为研究对象。借助于粘性消失方法，获得了这两类守恒律系统狄拉克激波解和广义真空解的存在性、唯一性和稳定性。同时，借助于分裂狄拉克函数法，研究了包含非线性色谱方程组在内的一类守恒律系统的狄拉克激波和初等波的相互作用，共获得了4种不同的解结构，发现了一种新的非古典波，即两个状态变量同时包含δ函数的狄拉克接触间断。. （2）以描述质量、动量和能量守恒的3×3零压气体动力学系统为研究对象。首先，研究了系统在一维情形下狄拉克激波与真空的相互作用，获得了4种不同的解结构，并给出了与理论分析相一致的数值模拟。其次，研究了系统在二维定常情形下初值具有两片和三片常数的黎曼问题，获得了黎曼解的整体结构。最后，借助于广义平面波解，我们研究了系统在n维情形下的广义平面狄拉克激波解，给出了其对应的广义Rankine-Hugoniot条件和熵条件。进而又考虑了n维系统当初始值包含δ函数的初值问题，获得了4种不同的解结构，同时又分析了两个平面狄拉克激波的相互作用。. （3）以零压型流体动力学系统为研究对象。首先，通过对一维零压流施加流扰动，并借助粘性消失方法，获得了扰动系统含参数的狄拉克激波解以及常密度解的存在性、唯一性和稳定性。其次，借助于流扰动方法，严格分析了零压流系统狄拉克激波和真空的形成机制，并给出了和理论分析一致的数值模拟。最后，考虑了广义零压流系统带外力项的黎曼问题，获得了狄拉克激波解和真空解，并研究了外力项对黎曼解的影响。