非线性双曲守恒律系统的相关问题研究

本项目研究非线性双曲守恒律系统的相关问题：（1）对一般双曲守恒律系统，特别是高维守恒律系统，建立狄拉克激波的显示表示；研究狄拉克激波可能出现在两个以上状态变量中的数学机理，解决相应的黎曼问题，发展狄拉克激波的数学理论。（2）对一类放弃非退化条件的双曲守恒律系统，给出类马赫反射结构出现的条件；研究涉及狄拉克激波的类马赫反射结构等现象。(3）对空气动力学Euler方程组及密切相关的压力梯度方程组进行深入研究，借助理论和数值计算，解决几类具有典型物理特征的初值问题，力争在Euler方程组及压力梯度方程组的二维Riemann问题猜想的严格数学证明中有所突破，解决一些国际热点问题。

本项目针对三类Chaplygin气体欧拉方程组，一类非严格双曲守恒律系统，包括非线性色谱方程组，一类非凸双曲守恒律系统，包括几何光学系统，等熵磁气体动力学方程组和一类二维双曲守恒律系统，包括气体动力学零压流和非线性Burgers型方程组等，重点就涉及狄拉克激波和Guckenheimer结构现象等问题进行深入研究。.　　首先，解决了相对论Chaplygin气体欧拉方程组、古典Chaplygin气体欧拉方程组、一类包括几何光学系统的非凸双曲守恒律系统、二维定常零压等熵流等的黎曼问题，得到了同时包含狄拉克激波和真空状态的黎曼解的一系列新的几何结构。此外，获得了这类Chaplygin气体欧拉方程组消失压力的极限，研究了等熵磁气体动力学方程组的柯西问题及两个中心疏散波的碰撞问题，并进行了数值实验。.　　其次，对一类非严格的双曲守恒律系统，包括非线性色谱方程组，发现了一类新型的狄拉克激波现象，建立了一个具有两个状态变量均包含狄拉克测度的狄拉克激波的理论，解决了相应的黎曼问题。我们的理论具有一般性和方便的实用性，可以方便和成功地用于解决Korchinski(1977)，Tan，Zhang和Zheng(1991)，Ercole(2000)等所研究的系统。我们的理论还特别应用到了Tan和Zhang在1990年所研究的一类二维Burgers双曲守恒律系统的黎曼问题，获得了二维情形下狄拉克激波解的一个显示公式。数值结果与理论分析吻合。.　　第三，考虑了非线性Burgers型方程组和非等熵油井中描述聚合物驱油过程的双曲守恒律方程组的几类二维黎曼问题。通过研究疏散波、激波、接触间断以及狄拉克激波之间的相互作用，得到了所有黎曼解和相应的准则，这些黎曼解展示了一系列不同的几何结构，包括狄拉克激波解、螺旋形结构以及Guckenheimer结构等重要的非线性现象。.　　项目已按计划执行，所取得的结果进一步丰富了非线性双曲守恒律方程组的狄拉克激波和二维黎曼问题的数学理论。.