非线性双曲守恒律中的燃烧问题和狄拉克激波问题

对可燃气体燃烧现象的研究有着重要的理论意义和应用价值，本项目我们将研究二维Chapman-Jouguet燃烧模型的Riemann问题，主要借鉴广义特征分析法来研究二维Chapman-Jouguet燃烧模型其基本波的相互作用并构造出Riemann解的整体结构。在构造出Riemann解后，我们将进一步研究该燃烧模型的燃烧波爬坡问题，即分析燃烧波爬坡所能够产生的几种现象以及其所需的条件。我们还将利用Colombeau广义函数的乘法和丁夏畦院士利用Hermite展开所定义的广义函数乘积，对非线性双曲守恒律中的奇性解进行研究，尤其是对一类出现狄拉克激波类型方程组解的研究。我们还将继续研究在交通流中被广泛应用的Aw-Rascle模型在各种情形下的奇异极限问题，尤其是在交通压力趋于零时的奇异极限以及和零压流方程的关系，并进一步考虑它的各种推广形式。

本项目我们主要对一些非线性双曲守恒律方程组Riemann解的构造及其稳定性进行了具体研究，我们的研究成果主要分成以下五个部分。.首先，我们研究具有两个点火限的Chapman-Jouguet燃烧模型的Riemann问题。我们分别提出了逐点熵条件和整体熵条件，并利用特征分析法构造出该模型的整体Riemann解，同时还证明它就是相应的自相似ZND模型其Riemann解当反应速度趋于无穷时的极限。并进一步研究了其点火问题和扰动的Riemann问题，在流函数为凸的情况下点火问题的解中出现了爆燃波转化为爆轰波这一著名的燃烧现象。.第二，我们研究了Aw-Rascle交通流模型在交通压力趋于零时的奇异极限问题，其形式极限是一维零压流模型，并把这一方法推广到磁流体动力学方程。同时，我们还用自相似的粘性消失法证明了一个简化色谱方程中狄拉克激波解的存在性。.第三，我们以Aw-Rascle模型和简化色谱方程为例讨论了Temple类型方程组基本波的相互作用问题，并用分裂狄拉克函数的方法研究一个非严格双曲守恒律方程组狄拉克激波的相互作用问题并得到一类新的非线性双曲波: 狄拉克接触间断，即一个狄拉克函数叠加在接触间断上，它是在狄拉克激波穿越稀疏波的过程中而产生的。.第四，我们对一个二维非严格双曲守恒律方程组在四象限下的二维Riemann问题和初始平面被一条光滑曲线分割成两部分的非自相似Riemann问题分别构造出其整体Riemann解并完整计算出狄拉克激波的强度。 .最后，我们对带有间断系数的双曲守恒律的Riemann问题及其基本波的相互作用问题进行研究并得到一些初步结果，由于共振现象的发生，其波的相互作用有一个复杂的结构。例如，我们在研究的过程中就发现狄拉克驻波间断和分枝现象即稀疏波与驻波间断相互作用时会分解成一个前向的稀疏波和一个后向的激波。.本项目共在数学类SCI期刊上发表论文14篇，并有部分结果发表在国际著名数学期刊上，较好的完成了本项目的研究工作。