非局部动力系统及应用

Nonlocal dispersal operators have been widely used to model different diffusion processes, such as in material science and epidemiology. Recently, nonlocal dynamical system has become a hot topic in mathematics and attracted many famous scholars (e.g. H. Berestycki and P. Bates). Since there is a deficiency of compactness and regularity of nonlocal operator, additional difficulty appears in the study of nonlocal problems. We seek to establish the fundamental theory for nonlocal dynamical systems, study the qualitative behavior of the solutions and obtain important applications. Our investigate concerns with the global attractors, the steady-states and the dynamical behavior near steady-states. Our focus will include the following parts. We first consider the existence of global attractors when the dispersal kernel is asymmetric and existence of orbit attractors for periodic nonlocal dynamical systems. We then shall investigate the spectrum theory of nonlocal dispersal operators and then study the steady-state: the stable or unstable manifolds and the bifurcation problems. We also study the spreading theory of nonlocal systems and propose to know the structure of the global attractors.

近年来，在物理、材料、流行病等学科的研究中，导出了许多非局部作用促成的非常重要的一类无穷维动力系统，称之为非局部动力系统，引起了许多学者如H. Berestycki院士和P. Bates等学者的极大兴趣并成为热点问题。由于非局部扩散算子的非紧性以及解半流较低的正则性，从而导致了许多本质困难。本项目主要目的是对非局部动力系统建立基本理论、研究解的定性行为并探讨应用学科中出现的相应系统的相关行为。重点研究非局部扩散系统的吸引子、稳态问题以及连接平衡点的全轨道性态。主要内容有：研究核函数非对称系统全局吸引子的存在性；研究周期非自治系统轨道吸引子的存在性；研究非局部扩散系统的谱理论，由此研究稳态解的存在性和稳定性，包括平衡点的稳定与不稳定流形及分支问题等；研究广义波与渐近传播理论，从而探讨非局部动力系统吸引子结构问题。

近年来，在材料、生物入侵、疾病传播等的研究中，导出了许多非局部作用促成的非局部扩散系统，吸引了如Berestycki院士等学者的关注并成为热点问题。但与经典局部问题相比，非局部扩散算子是非齐次和非紧的，从而导致了许多本质困难。本项目主要利用动力系统、泛函分析和偏微分方程理论和方法，研究非局部动力系统的吸引子与全轨道刻画，主特征值理论及应用，自由边界问题与渐近传播等。主要研究内容和取得的重要成果包括：1）对一类非局部动力系统给出了全局吸引子的存在性并证明了正不变吸引集是以多项式速度吸引任何有界集。2）借助于动力系统思想对三种经典方程(单稳、双稳和点火)构造出了多种新型全轨道，并在单稳时证明它们可以是5维流形。应用于生态和传染病模型时发现了生物入侵和疾病传播的新方式，它们可以是由4个波解碰撞形成的全轨道。同时对时间周期系统得到了类似结果。对于高维空间，构造出多种形式的非平面波（含随时间变化的）并证明了唯一性和稳定性，且水平集都具有唯一的全局平均速度。对于障碍问题，证明了对某些形状障碍物波解绕过之后继续传播并保持传播速度。对于时空周期单稳系统，建立了单调半流的传播速度和波解抽象理论。3）给出强Krein-Rutman定理的初等证明，对Banach格上可约正紧算子得到了著名的Collatz-Wielandt型公式，并建立了周期非局部扩散算子的谱理论。4）对核非对称性的核心基础问题，给出了描述非对称性强弱的新型泛函，发现了对空间传播的三点重要影响(传播方向、稳定性及单调性)，提出了“向前-向后传播”新方法。5)从流量的角度出发提出了非局部扩散自由边值问题并推导了非局部问题的自由边界条件。通过利用含参常微分方程理论及压缩映像原理的新方法，得到了解的全局存在唯一性，传播与灭绝二择一判定定理以及关于初值的临界准则，在应用于捕食和传染病系统时,得到了加速传播的充要条件。6）发现合作不可约系统中只要一个分量具备加速条件则一定会发生整体加速的新现象(称为加速的传递性)。