非局部无穷维动力系统的动力学行为

Because of its strong physical background and wide application fields, nonlocal partial differential equation has become a hot issue. Since the current researches on non local partial differential equation are mainly concentrated in the Banach space, hence the lack of research on its dynamic behavior, and we can not know the influence of nonlocal operator on the dynamical behavior. This problem has become the major problem hindering the further development of nonlocal partial differential equation in the theory and application. . In this research project, on the basis of theory of nonlinear functional analysis and partial differential equation, we will focus on the dynamical behavior of nonlocal partial differential equation. The contents of research are: the establishment of the abstract results of non local partial differential equations of steady state bifurcation and dynamic bifurcation (attractor bifurcation) in theory, aims to reveal the influence of nonlocal operators on its dynamic behavior; in application, we apply the above established abstract results to nonlocal nonlinear evolution equations and analysis it's dynamical behavior, and provide reasonable explanations to corresponding natural phenomena.. The research can improve and perfect the theory of infinite dimensional dynamical system and will provide new ideal for deal with some problems appear in application. The study involved multiple mathematical branches and many actual problems, and has the important significance of theory and potential value of application.

非局部偏微分方程因其强大的物理背景和广泛的应用领域，已成为人们研究的热点。由于目前对非局部偏微分方程的研究主要集中在Banach空间，所以缺少对其动力学行为的研究，从而无法了解非局部算子对动力学行为的影响。此问题已成为阻碍非局部偏微分方程在理论和应用上进一步发展的重大问题。本项目以非线性泛函分析与偏微分方程的理论为基础，拟开展非局部偏微分方程动力学行为的研究。研究内容包括：在理论上建立非局部偏微分方程静态分歧和动态分歧(吸引子分歧)的抽象结果，旨在揭示非局部算子对其动力学行为的影响；在应用上应用建立的抽象结果，分析具有实际背景的非局部非线性演化方程的动力学行为，为对应自然现象给出合理的解释。这些研究将进一步改进和完善无穷维动力系统的基本理论，并且为某些实际问题的解决提供新的思路、方法和重要的理论依据。该研究涉及数学的多个分支和许多实际问题，具有重要的理论意义和潜在的应用价值。

对非局部算子的研究已成为一个热点问题，人们关于局部算子(椭圆微分算子)对动力系统的影响做了大量的研究， 经典的无穷维动力系统的理论都是建立在局部偏微分方程上。局部算子对整个系统的动力学行为的影响比较清楚。但是，非局部算子对非局部动力系统的动力学行为产生的影响，尤其是指数的变化对整个系统动力学行为的影响了解的不是很清楚。. 相对于局部偏微分方程，非局部偏微分方程解的存在性，正则性等都有很大不同，这些结果已经被证实。但是我们想从另外一个角度，动力学的角度去理解非局部算子，想揭示非局部算子对整个系统动力学行为的影响，想知道系统是否会产生不一样的动力学行为。. 以非线性泛函分析和偏微分方程的理论为基础，研究非局部动力系统的动力学行为，这样能揭示非局部偏微分方程对应自然现象的本质，为一些自然现象给出合理的解释。对非局部椭圆方程，证明了正解的存在性，多解性，尤其证明了正解的个数与非线性项位势极大集拓扑之间的关系，这里椭圆方程的非线性项为临界增长；对非局部偏微分方程，证明了非局部算子是一个扇形算子，在证明过程中，我们没有采用传统的位势估计的办法，主要是因为此方法证明过程繁琐。我们把非局部算子作为一个奇异积分算子，采用调和分析中的Calderon-Zygmund定理，用半群的方法，证明了温和解的存在性，证明了惯性流型的存在性。用Galerking方法证明了强解和弱解的存在，唯一性，证明了拉回吸引子的存在性，揭示非局部算子指数变化对方程动力学行为的影响。这些研究将进一步改进和完善无穷维动力系统的基本理论，并且为某些实际问题的解决提供新的思路、方法和重要的理论依据。