非局部扩散方程的稳态问题与时空传播

Recently, nonlocal dispersal equations have been widely used to model different diffusion phenomena in physics，ecology，epidemiology and other disciplines. Nonlocal dispersal processes have attracted many scholars such as L.Caffarelli and P.C. Fife and become a hot issue. However, for the lack of compactness of nonlocal dispersal operators and a deficiency of regularizing effects of the solution semi-flow, there present many essential difficulties. Thus, it is of great significance to make a systematic study on this subject. This project will be concerned with stationary problems and propagation of nonlocal dispersal equations. The main contents consist of the following important four parts. Firstly, we will establish spectral theory for nonlocal dispersal operators on bounded domains. Some sufficient conditions will be given for the existence of the principal eigenvalue, what is more，we will show that it depends continuously with respect to weight functions and other important properties. The spectral theory will be provided to be an important tool for the study of stationary problems and is of also great importance in its own. Secondly, we will investigate a general spectral theory for nonlocal dispersal operators on unbounded domains. Applying the principal eigenvalue theory, we will obtain the stability of traveling waves. Thirdly, this project will also deal with nonplanar traveling waves of nonlocal dispersal equations. We will obtain the existence of nonplanar traveling waves in high-dimensional spaces, and establish more general existence results on nonplanar traveling waves and develop the corresponding methods. Finally, we will study the influence of the spatially nonlocal and delay on traveling waves and some applications of nonlocal dispersal equations in the biological invasions，the spread of disease and the materials science.

近年来，在物理、生态学、流行病学等学科的研究中，导出了许多非局部扩散方程，并引起了许多学者如L.Caffarelli和P.C. Fife等的极大兴趣并成为热点问题。由于非局部扩散算子的非紧性以及解半流较低的正则性，从而导致了许多本质困难，因此对其系统研究是具有重要意义的课题。本项目将致力于非局部扩散方程的稳态问题与时空传播，主要内容有：研究有界域上非局部扩散算子的谱理论，包括主特征值的存在唯一性及对权函数的连续依赖性等重要性质，由此研究方程稳态解的存在性和稳定性；研究无界域上非局部扩散算子的谱理论，建立行波解的稳定性理论；研究高维空间中方程的非平面波，建立非平面波存在的一般结果并发展相关方法。讨论空间非局部作用和时滞对行波解的影响，探讨在生物入侵、疾病传播及材料学中的应用。

近年来，在材料科学、物理、流行病等学科的研究中，导出了大量非局部扩散方程。由于非局部扩散算子紧性的缺失和正则性理论的不完备，从而使得对其理论及应用的研究面临较大的困难。本项目利用非线性泛函分析、算子半群和动力系统理论及偏微分方程的方法研究了非局部扩散方程的稳态问题和时空传播理论，利用稳态解、行波解、整体解、渐近传播、交错扩散等理论给出非局部扩散动力系统的演化机制与特性。在算子谱理论的研究和稳态解的精确刻画中，我们得到非齐次问题的特征值理论与正稳态解的存在、唯一及和渐近稳定性等结果，这些结论描述了非局部方程本身所具有的独特性质，体现出非局部性、空间非均匀性等因素的本质影响，同时给出了其异于反应扩散方程的主要结果。在非局部扩散方程时空传播理论的研究中，我们得到了行波解和整体解的存在性、稳定性和唯一性及其它定性结果。这些结论体现出了空间非均匀性和非局部性、高维空间等因素对波传播速度和方向的不同影响。重要的是，我们构造出几类新型整体解并研究了整体解对于传播速度、传播方向、不同参数等因素的连续依赖性，这对从理论上理解非局部系统全局吸引子结构和系统动力学性态是非常有用的，并且可以很好的描述行波解所不能描述的传播现象；同时，我们研究了非局部传染病模型与非局部格动力系统的渐近传播速度，给出最小波速与传播速度的关系，证明非局部系统变化因素对渐近速度的影响及对疾病传播和控制的作用。利用分支理论，研究了非齐次空间中空间退化与不同功能反应函数对捕食者食饵模型的影响，给出正稳态解的全局分歧与渐近稳定性。通过精细的分析技巧，我们证明了空间退化与功能反应同时出现时，会对系统造成完全不同的影响。