空间异性环境下非局部扩散系统的动力学行为

Nonlocal dispersal equation has been used to model different diffusion phenomena in material science, population dynamics and epidemic models. This kind of integral differential equation has become an important topic in mathematics and attracted many famous scholars (e.g. Henri Berestycki). There is a deficiency of compactness and regularity theory for nonlocal dispersal operator, additional difficulty appears in the study of nonlocal problems. We shall investigate the long time behavior of nonlocal dispersal systems in spatial heterogeneous environment and study their important applications. We will mainly concern with the eigenvalue theory, the steady-states, the generalized transition waves and their connections. We first consider the existence of principal eigenvalue for the linear nonlocal dispersal system. We then establish the existence and stability of the steady-states for heterogeneous nonlocal dispersal system. We also study the generalized transition wave theory of nonlocal dispersal systems, the entire solutions and the stable or unstable manifolds of the systems. Finally, we will consider the influence of the spatial heterogeneity, delay and nonlocality on the dynamical behavior and some applications of nonlocal dispersal systems in the spread of disease and the biological invasions.

在材料科学、种群动力学、流行病等学科的研究中导出了许多非局部扩散方程（一类积分微分方程），引起了H. Berestycki院士等学者的极大关注并成为热点问题。由于非局部扩散算子紧性的缺失及其解半流的低正则性，从而导致了许多本质困难。本项目主要研究空间异性环境中非局部扩散系统的动力学行为并探讨其在实际问题中的应用。重点研究非局部扩散系统的特征值问题、稳态解、广义行波解及相互作用。主要内容有：研究线性系统主特征值的存在性和重要性质；研究空间异性环境中稳态解的存在性与稳定性；研究广义行波解理论，包括整体解的存在性、稳定与不稳定流形问题等；讨论空间异性、时滞和非局部作用对系统动力学行为的影响，并探讨在疾病传播和生物入侵中的应用。

近年来，人们发现非局部扩散方程在晶体相变、化学反应、疾病传播等方面有着重要的应用，同时其研究吸引了越来越多学者的广泛关注。然而与经典的反应扩散方程不同，非局部扩散方程紧性的缺失与正则性理论的不完善，其研究比较缓慢，很多基础性理论还没有完善，使得对其理论及应用的研究带来很多本质困难。本项目利用经典泛函分析、动力系统和偏微分方程的理论方法考虑空间异性环境下非局部扩散方程动力学行为，同时得到其在流行病传播和生物入侵中的应用。主要研究非局部扩散方程的空间传播及其应用，包括波的存在性与交错作用，谱理论及其应用，移动环境下的非局部问题与自由边界问题。首先我们研究了非齐次环境中L-V系统的新型整体解，包括周期行波。通过研究不同行波解的衰减行为及其波的相互交错作用，得到不同类型新型整体解的存在性，而这些新型整体解是非局部扩散系统的新型全轨道。通过得到新型整体解的稳定性与唯一性理论结果，应用到非局部传染病模型等生物模型中，发现了种群新的入侵方式与疾病新的传播途径。其次我们通过研究非局部传播病模型的渐近传播速度与平衡点的稳定性，得到疾病传播与否的阈值动力学结果，给出疾病消亡与传播的充要条件。另外，通过研究非局部算子的谱理论，给出扩散核函数，非局部性及其参数对特征值的影响，同时将理论结果应用到非线性非局部方程，得到发展问题的全局动力学行为。最后，我们通过研究非局部自由边界问题与移动环境下的非局部问题，给出自由边界与移动环境对非局部发展方程长时间行为的精确影响，从而给出非局部扩散问题的本质特征。通过研究非齐次环境下非局部扩散方程的动力学行为，我们从动力系统角度，更加细致的刻画非局部扩散的特征。