能量临界情形的非线性Schrodinger方程

本项目主要研究能量临界情形的非线性Schr?dinger方程. 我们拟利用变分方法的思想和技巧结合调和分析技术，针对该类方程的Cauchy问题进行研究. 首先，根据该类方程的特征建立适宜的变分问题，结合其Cauchy问题的Hamilton性质, 建立不变发展流. 通过发展流的不变性把发展方程的适定性与定态非线性椭圆方程的基态有机地联系起来. 其次，根据该类问题的局部适定性, 一方面，在不变发展流上运用调和分析技术研究方程对应Cauchy问题解的整体存在性; 另一方面，结合发展流的不变性，运用变分技术讨论方程对应Cauchy问题解在有限时间内爆破的条件. 最后, 将这两方面相结合建立起一套工作框架, 讨论该类方程的Cauchy问题解整体存在和在有限时间内爆破的最佳门槛条件. 从而在此基础上进一步探求该类方程的其它性质.

研究能量临界情形的非线性Schrödinger方程和与它相关方程的动力学行为. 一方面,研究能量临界情形的非线性Schrödinger方程. 根据方程的性质,运用变分技术构造适宜的泛函和约束变分问题,结合其Cauchy问题的Hamilton性质,建立不变发展流. 同时, 引入调和分析技术进行讨论,综合两方面的研究得到方程解整体存在和在有限时间内的爆破的最佳条件以及解的散射性质等动力学行为. 另一方面, 研究能量临界情形的非线性Schrödinger方程相关的方程(如Hartree方程). 通过对方程的研究,建立适宜的变分问题,得到相应的不等式. 再结合其Cauchy问题的Hamilton性质, 建立不变发展流. 考虑其整体解的存在性、有限时间的坍塌性质，获得这些方程对应孤立子的存在性和稳定性等动力学行为. 项目的研究和执行，让项目组成员获得了数学上关于偏微分方程的一些研究成果,也为相应的物理研究提供必要的理论支撑和帮助. 同时，也使得本项目的研究成员不断成长.