偶极玻色-爱因斯坦凝聚的孤立子

Dipolar Bose-Einstein Condensates has received much attention recently from both experimental and theoretical studies. The project is mainly concerned with the existence, stability and some other properties of the dipolar Bose-Einstein Condensates. We plan to use the variational methods, harmonic analysis and the theory of operator semigroup to establish the framework of this study. At first, by analyzing the dipolar interaction and using the variational techniques, we construct some functionals and the constrained variational problems to study the global existence, blow-up and the accurate characterization of sharp conditions of the global existence for the Cauchy problem. Then, the relationship between variational characters and stability of solitons are studied. Thus, by variational methods, harmonic analysis and the theory of operator semigroup, we study the existence and stability of the solitions for the cases which haven’t been studied.

近年来,偶极玻色-爱因斯坦凝聚在实验和理论研究方面受到了广泛关注.本项目主要研究偶极玻色-爱因斯坦凝聚的孤立子的存在性和稳定性等物理性质.本项目拟将现代变分法、调和分析与算子半群理论相结合建立工作框架.首先,通过对偶极相互作用项的分析,运用变分技术,构造多种适宜的泛函和约束变分问题,研究其Cauchy问题整体解和爆破解的存在条件,以及整体解和爆破解的最佳门槛条件的精确刻画.进而,研究其变分特征与孤立子之间的关系.最终,运用调和分析技术,变分法以及算子半群理论,对孤立子的存在性和稳定性中尚未解决的问题进行研究.

偶极玻色-爱因斯坦凝聚(Dipolar Bose-Einstein Condensates)相关方程描述了简并量子气体中的磁偶极-偶极相互作用. 本项目致力于研究偶极玻色-爱因斯坦凝聚方程及其相关方程的孤立子和这些方程解的动力学行为. 一方面，我们对描述偶极玻色-爱因斯坦凝聚的方程进行系统研究，讨论其驻波解的稳定性及其相关动力学性质.另一方面,随着研究不断推进,我们发现对于偶极玻色-爱因斯坦凝聚的研究不能仅仅停留在对于这一个方程的研究.通过对一些结构相似的相关问题的研究有助于我们对偶极玻色-爱因斯坦凝聚进行更为深入的探究.于是我们在主要针对偶极玻色-爱因斯坦凝聚研究的同时也对一些和偶极玻色-爱因斯坦凝聚相关的问题进行了研究,并得到了方程的一些动力学性质. 项目的研究和执行，我们获得了数学上关于偶极玻色-爱因斯坦凝聚方程及其相关偏微分方程的一些研究成果. 同时，研究也为偶极玻色-爱因斯坦凝聚的研究提供必要的理论支撑和帮助，也使得本项目的研究成员不断成长.