非线性四阶Schrodinger方程在临界空间中的行为

作为一类重要的色散波方程，非线性四阶Schr?dinger方程以其具有的丰富物理背景和数学结构，吸引了很多数学家对其进行研究。特别是对这一方程在临界空间中的行为的研究，在物理上还有很多疑问，在数学上也充满挑战。本项目旨在研究能量临界和质量临界的四阶Schr?dinger方程的Cauchy问题，分析它们的解分别在能量空间和L^2中的整体适定性、散射和爆破机制。我们所用到的方法主要是能量归纳方法和"紧性-反证"方法。它们的共同特点是把极小能量（质量）爆破解归结为几乎周期解，从而证明它们具有更好的正则性。再结合其它的分析技术，我们就可以排除这样的极小能量（质量）爆破解。在本项目中，我们将对现有的方法与技巧进行推广、发展和改进，所得的结论也将对相应的物理现象的分析起重要作用。另外，我们也将通过四阶Schr?dinger方程的研究，对色散波方程中一些相关的公开问题进行尝试。

色散波方程是一类重要的数学物理方程，其数学理论近年来取得了突飞猛进的发展。在本项目中，我们对四阶Schrodinger方程和具有混合非线性项的Schrodinger方程这两类色散波方程进行了研究，得到了这两类方程在临界空间中的行为。首先，我们利用"紧性－矛盾"方法证明了能量临界的四阶Schrodinger方程的径向解当初值的能量小于基态的能量，并且动能小于基态的动能时在能量空间中的整体适定性和散射。当然，用同样的方法也可以证明对于非聚焦的方程的有限能量径向解的整体适定性及散射；进而对于高维非聚焦方程我们把上面的结果去掉径向条件，推广到了一般初值的情况，也得到了整体适定性及散射结果。最后，对于具有混合非线性项的Schrodinger方程，我们处理了一个是聚焦的能量临界，另一个是能量次临界且质量超临界的情形。我们得到了能量门槛，证明了在这个门槛之下且符号泛函为正时，方程的径向解整体适定并且散射；而当符号泛函为负时方程的解在有限时刻爆破。对于高维的情形，我们去掉了径向条件。