能量临界情形薛定谔型偏微分方程的长时间行为

The large time behavior of solutions to Schrodinger type PDEs is one of longstanding interested questions to mathematicians and physicists. This program mainly concerns the global well-posedness, energy lower bound estimates and the weak turbulence problem of Hamiltonian equations. We have already studied the related Szego equation, which is globally well-posed and weak turbulence exists (Analysis & PDEs). The half wave Schrodinger equation has weak turbulence (Math. Z). We plan to investigate some models via higher energy method, Strichartz estimates,modified scattering, etc. Using traveling waves and Szego equations, we will start with the Cauchy problem, and then the large time behavior of solutions, especially the existence of turbulent waves. This program is a significant try in the theoretical studies of weak turbulence. Finally, we will apply our methods and results on more models, and gain a series of achievements.

薛定谔型偏微分方程一直是数学物理的一个热点和难点。本项目针对能量临界薛定谔型偏微分方程研究其解的长时间行为，具体主要拟研究方程解的全局适定性，解的能量下界及能量在无穷时间处爆破的解，即弱湍流解。对于本项目中的半波薛定谔方程，申请人已经研究了其对应的共振系统Szego方程，证明了方程全局适定并且存在弱湍流解，而且我们构造出了能量随时间增长趋于无穷的解（Analysis & PDEs），利用这个结果，也成功证明了半波薛定谔方程存在弱湍流解（Math.Z）。在原有的研究基础上，我们会利用紧性方法、高阶导数能量泛函、Strichartz估计、修正型散射等方法，借助行波解和Szego方程，研究方程解的长时间行为以及解的能量下界估计，借助方程的拓扑结构和代数结构，构造方程的弱湍流解。最终得到一个比较系统的结果，并且希望将结论和方法应用到更广泛的数学物理模型中。

薛定谔型偏微分方程的长时间行为是数学物理的一个非常重要的研究课题。利用相空间的拓扑结构，有限维哈密顿系统中大量的长时间行为特征可以被刻画。但是对于无穷维的系统，我们可以选择带不同拓扑结构的相空间来研究其性质，而大量的长时间性质往往依赖我们选择的拓扑结构。在前期研究进展的基础上，本项目重点针对带扰动项的Szegő方程的适定性、可积性以及弱湍解的存在性开展研究，进而将研究成果与方法应用于更多的数学物理模型，比如半波方程、半波薛定谔方程等。我们证明了一类带线性扰动项的Szegő方程的全局适定性、完全可积性；当扰动系数为纯虚数时，方程不存在弱湍流解；当扰动系数为实数时，我们找到了其存在弱湍解的条件，并且构造出了一些特殊的弱湍解。另一方面，针对流体力学相关方程，我们也得到了一些适定性和稳定性相关结果。我们研究了一类二维可压缩Navier-Stokes方程，通过可压缩映射和修正的能量方法证明了大解的全局存在性和衰减估计。我们用拉格朗日方法来用拉格朗日方法研究了二维变密度非齐次不对称流的柯西问题，证明模型的局部大初值的存在唯一性。本项目的研究模型来源于有强烈物理背景的流体力学、量子力学和非线性光学，研究中取得的些许进展将对相关领域的研究起到重要的推动作用。