玻色-爱因斯坦凝聚的动力学行为和几何光学分析

Bose-Einstein Condensation is a ubiquitous phenomena in many fields of physics. The project is mainly concerned with some physical properties of Bose-Einstein Condensates from the dynamical behaviors and geometrical optics of two nonlinear Schrödinger equations with potentials. On one hand, the variational methods can give the reasonable description for the condensates function, so we plan to use the variational methods and harmonic analysis techniques to establish the framework of this study. Then by this framework, we discuss the two kinds of nonlinear Schrödinger equations according to the properties of the problems and the characteristics of the potentials and obtain the dynamical behaviors of the solutions such as the existence of the global solutions and the blow-up solutions, the existence and stability of the standing waves, scattering and so on. On the other hand, the research of geometrical optics offers theoretical support to the description of the physical phenomena. By the known studies of these problems, we improve and innovate the methods and techniques (such as WKB methods, scattering theory, Strichartz estimates, etc.) with which we are familiar. And then, obtain the geometrical optics results such as the description of the solutions near the caustics and so on for these equations.

玻色爱因斯坦凝聚是一类涉及物理学的很多领域的普遍物理现象. 本项目从两类带势的非线性Schrödinger方程的动力学行为和几何光学性质的研究讨论玻色-爱因斯坦凝聚的相关物理性质. 一方面，由于变分法能够给出凝聚体波函数演化的合理描述. 因此, 本项目拟采用变分方法的思想和技巧结合调和分析技术建立工作框架. 在此框架下, 根据该类问题的性质和势函数的特征对这两类方程进行研究, 进而获得其整体解和爆破解的存在性, 驻波解的存在性和稳定性以及解的散射性质等动力学行为. 另一方面，从几何光学性质的研究能够对相应物理现象的描述提供理论支撑. 我们通过学习已有文献，对熟悉的一些研究方法和技巧(如：WKB方法，散射理论，Strichartz估计等)加以改进与创新，获得其解在焦散面附近的情况等几何光学分析结果.

玻色-爱因斯坦凝聚是一类涉及物理学的很多领域的普遍物理现象.通过研究几类非线性Schrödinger方程的动力学行为和几何光学性质了解玻色-爱因斯坦凝聚的物理性质. 一方面，研究了几类与玻色-爱因斯坦凝聚相关方程的动力学行为. 通过分析这些方程能量泛函的变分性质，得到一些发展不变流形. 同时，讨论了交叉强制变分问题得到另一类发展不变流形. 进一步地，我们研究在高能量情形下解整体存在和爆破的充分条件， 同时得到了在此能量值之下，初值的大小对解的整体存在性的影响. 同时，也对我们得到的这些发展不变流形流形之间的关系进行了讨论.另一方面，研究了一类具非局部非线性项的非线性Schrödinger方程的几何光学性质. 讨论该类方程在振荡初值下的情形. 针对振荡积分进行讨论. 通过得到方程解的长时间散色行为进而描述其解在焦散面之外以及在焦散面附近的情况. 项目的研究和执行，让项目组成员获得了数学上关于偏微分方程的一些研究成果， 也为相应的物理研究提供必要的理论支撑和帮助. 同时，也使得本项目的研究成员不断成长.