加法组合与素数的组合性质

Due to the efforts of Gowers, Tao and etc., additive combinatorics has become a very active field. In 2013 the applicant raised many problems of new types connecting addtitive structure, multiplicative structure, and circular or linear permutations, this has caussed studies by Noga Alon, Jean Bourgain (a Fields medalist) and etc. We will make further investigations alone this line; for example, we aim to obtain stronger results involving circular permutations of quadratic residues modulo primes, and our tools include character sums and primitive roots of finite fields. This project will also focus on combinatorial properties of primes; we plan to prove some new type results depending on exact values of the prime-counting function, and also employ the advanced Maynard method to study connnections between consecutive primes and Legendre symbols. We will also determine what form ax^2+by^2+f(z) (or similar things) can represent all nonnegative integers, our tools include q-series and the theory of ternary quadratic forms.

在Gowers与Tao等的推动下加法组合成为近年来很活跃的研究领域。申请人在2013年提出一系列把加法结构、乘法结构与圆排列、线性排列结合起来的新型问题，引起著名组合学家Noga Alon与Fields奖获得者Jean Bourgain等人的重视与研究。我们将开展这方面的深入研究，例如：将致力于获得比Alon-Bourgain所证的申请人猜测（涉及模素数的平方剩余的圆排列）更强的结果，所用工具包括特征和与有限域的原根。本项目也关注素数的组合性质，将证明一些与素数计数函数精确值有关的新型结果，并用前沿的Maynard方法来研究连续m个素数与Legendre符号的关系。本项目也将研究怎样的ax^2+by^2+f(z)（或类似的形式）可表示出所有自然数，所用工具包括q-级数与三元二次型理论。

在本项目支持下, 我们在Proc. Amer. Math. Soc., Finite Fields Appl., J. Number Theory, Acta Arith., Ramanujan J., Sci. China Math., Appl. Math. Comput.等重要的SCIE期刊上发表了34篇研究论文。在连续素数与Legendre符号、素数的组合性质、自然数的三项或四项二次式和通用表示、与置换或圆排列有关的新的加法组合问题、经典π级数的q-模拟与p-adic同余式方面，我们取得多项创新成果，解决了一些公开猜测，也提出了许多新猜想。例如：孙智伟与潘颢合作利用著名的Maynard-Tao定理（张益唐关于素数间隔定理的加强版）证明了对任给的整数m>0及δ,ε∈{1,-1},有无穷多个正整数n使对0≤i<j≤m总有(p(n+i)/p(n+j))=δ且(p(n+j)/p(n+i))=ε,这儿 p(k)表示第k个素数，(a/p)表示二次剩余理论中的Legendre符号; 还证明了在广义Riemann假设之下对任给正整数m有无穷多个正整数n使得连续素数p(n),…,p(n+m)中每一个是模其余的原根, 这是张益唐工作及Maynard-Tao定理的重要应用。孙智伟还发现Lagrange四平方和定理可有种种出人意料的加强形式， 例如：他证明每个自然数可表成一个6次方与三个平方数之和，并提出了原创的1-3-5猜想；他还系统研究了怎样的三项和式x(ax+b)/2+y(cy+d)/2+z(ez+f)/2在变元x,y,z取自然数或整数时可表示所有自然数，明确决定出所有这样的六元组(a,b,c,d,e,f)候选并证明了一些候选的确符合要求。在加法组合与圆排列方面，对无挠加法Abel群的n>3元子集A我们证明了必有它的元素列举a(1),a(2),…,a(n)使得a(1)+2a(2),a(2)+2a(3),…,a(n-1)+2a(n),a(n)+2a(1)两两不同。孙智伟还首次给出著名的Euler公式ζ(2)=π^2/6的q-模拟, 引起了Goswami, Dawsey与 Ono的推广与应用。我们也在组合和式的p-adic同余式及q-模拟方面证明了一些公开猜测。这些工作推动了数论、组合、群论与符号计算的交叉融合。