组合数论与素数的二次型表示

由于Erdos, Szemeredi, Gowers, Green, Tao等著名数学家的推动， 组合数论已成为非常活跃有潜力的数论分支。本项目主要致力于研究著名的Erdos-Heilbronn猜想（已解决）在域上的加权推广等和集问题，素数p（或4p）可表成x^2+dy^2（其中虚二次域Q(sqrt(-d))类数为1，2或4）时x^2 mod p^2的显式表达，自然数表成三个混合多角数之和及相关的三元二次型表示算术级数的问题，以及组合和式的p-adic赋值等。拟使用的工具包括Alon的组合零点原理、p-adic分析、正则三元二次型、Apery数与组合变换、Zeilberger算法。本项目课题有重要的意义与背景（不少涉及申请人自己的猜测）。申请人已在著名的《Trans. Amer. Math. Soc.》等国际期刊上发表了86篇SCI论文, 有的工作被Terence Tao等名家所引用。

在本项目的支持下，我们在Finite Fields Appl., Adv. Appl. Math., J. Combin. Theory Ser. A, Acta Arith., J. Number Theory等重要的SCI期刊上发表了28篇研究论文。在Erdos-Heilbronn猜想的加权推广等和集问题、素数二次型表示中参数的确定及相关同余式、涉及组合和式的p-adic同余式、三个混合型多角数之和表示自然数问题、只取素数值的数论函数、涉及广义中心三项式系数的新型1/π-级数方面都取得了重要的成果。例如：我们利用三元二次型理论证明了每个自然数都可表成一个三角数、一个偶平方数与一个广义五角数之和;利用一些新颖恒等式与组合变换获得了Apery ζ(3)级数相应的p-adic同余式（涉及Bernoulli数）; 证明了使得2k(k-1) (k=1,...,n) 模m>1 两两不同的最小正整数 m就是2n-2之后的第一个素数（如此，我们获得一个值域恰为全体素数集的数论函数）, 还提出原创的素数递推关系猜想与整数的素数交错和表示猜想。我们还综合利用组合与数论中多种技巧，成功解决了Rodriguez-Villegas受Calabi-Yau流形启发提出的关于三个组合数积和的同余式猜想遗留部分，以及Tauraos关于Lucas数的一个优美同余式猜想。项目负责人提出的许多原创性猜想（如涉及广义中心三项式系数的61个新型1/π-级数）已受到国际同行的关注与研究。