非线性偏微分方程主导的分布参数系统关于边界扰动的输入状态稳定性

In order to provide qualitative and quatitative descriptions for stability of control systems, the aim of this project is to address the effect of external disturbances (inputs) on distributed parameter systems by exploiting the concept of “input-to-state stability (ISS)”, which comes from the stability theory of finite dimensional systems originally. Based on the regularity theory of partial differential equations (PDEs), it focuses on the study of ISS for distributed parameter systems governed by nonlinear PDEs with boundary disturbances, including: (1) establishment of ISS with respect to (w.r.t.) Robin boundary disturbances for nonlinear PDEs based on the technique of splitting of PDEs, variations of Sobolev inequalities and Lyapunov method; (2) establishment of ISS w.r.t. Dirichlet boundary disturbances for nonlinear PDEs based on the technique of splitting of PDEs, De Giorgi iteration, and Lyapunov method; (3) establishment of ISS w.r.t. different boundary disturbances for nonlinear PDEs with non-local items based on the technique of splitting of PDEs, Maximum principle, and Lyapunov method.

针对控制系统的稳定性问题，本项目拟借用有限维系统稳定性理论中的“输入状态稳定性”概念来阐释外加干扰（输入）给分布参数系统稳定性带来的影响，利用偏微分方程正则性理论，重点为非线性偏微分方程主导的分布参数系统建立关于边界扰动的输入状态稳定性，为系统稳定性给出一类定性描述和定量刻画，具体地：（1）利用方程分解技术、利用变形的Sobolev不等式及Lyapunov方法，研究由非线性偏微分方程主导的分布参数系统关于Robin型边界扰动的的输入状态稳定性；（2）利用方程分解技术、De Giorgi迭代，及Lyapunov方法，研究由非线性偏微分方程主导的分布参数系统关于Dirichlet型边界扰动的输入状态稳定性；（3）利用方程分解技术、偏微分方程极值原理，及Lyapunov方法，研究由带有非局部项的非线性偏微分方程主导的的分布参数系统关于不同类型边界扰动的输入状态稳定性。

在工程实际问题中，系统的稳定性通常受外加输入的影响，例如参数误差、模型的不确定性、外力干扰等，从1980年代末开始，输入状态稳定性概念（ISS）及其各类变种被广泛应用于有限维系统，被证明是用来描述外加输入对系统稳定性产生的影响的很好的工具，逐步发展为有限维系统的输入状态稳定性理论，并被广泛应用于工程实际问题。.这一理论在2010年后被推广应用于无限维系统，例如偏微分方程描述的分布参数系统。较之于有限维系统，偏微分系统的ISS分析更具有挑战性。既有文献表明，经典的Lyapunov方法可以很好地用于偏微分系统关于区域内部扰动的ISS分析，但是，当扰动出现在区域边界时，系统对应的微分算子是无界的，利用经典的Lyapunov方法进行ISS分析将产生本质困难。.在此背景下，本项目提出对偏微分系统关于不同边界扰动的ISS问题进行研究这一课题。在本项目中，我们创新地使用数学中偏微分方程正则性方法与控制领域的经典方法，系统地研究了由非线性偏微分方程主导的分布参数系统关于边界扰动的输入状态稳定性，得到一些新的、重要的结果，对一些工程实际问题及理论研究均具有一定的指导或启发意义。.具体地，本项目针对具有不同类型(Dirichlet, Neumann, Robin)的边界扰动，利用极值原理、De Giorgi迭代，及Lyapunov逼近方法等，为非线性偏微分系统建立了其在各类范数意义下的输入状态稳定性或积分输入状态稳定性估计式，从而为外加输入对系统稳定性产生的影响同时提供了一种定性与定量刻画，加深了我们对受干扰系统的稳定性及鲁棒性的理解。本项目的研究工作和所得的结果可以为一些工程实际问题的控制器设计、稳定性分析提供理论指导。与此同时，所提出的新方法也可以作为偏微分正则性理论的重要补充，对偏微分方程理论研究也具有一定的促进作用。.经过三年研究，现已完成、甚至超额完成既定研究内容，达到预期目标。