高余维分岔下的簇发振荡及其机理分析

On the fact that the wide engineering background of the coupled system with multiple time scales, further investigation of the bursting oscillations as well as the associated mechanism with high codimension not only has important theoretical and potential applied significaance, but also is one of the key problems in the study of nonlinear dynamics at home and abroad.In this project,we focus on the nonlear dynamics with multiple time scales, and explore the steady states as well as the bifurcations of the subsystems on different scales, especially the bifurcation forms with high codimension. The dynamics of the bursting oscillation as well as the related bifurcation mechanism with different conditions will be investigated, while the influence of the coupling forms as well as the parameters on the evolution of the dynamical behaviors will be discussed. The characteristics of different bursting oscillations as well as the mechanism,especially for those with high codimension bifurcations will be revealled. Furthermore, the bursting oscillation as well as the mechanism with different forms of periodic excitation will be discussed to explore the bursting oscillation with different bifurcations as well as the normal forms and finally, all the results may be extended to the coupled system with three time scales, which may serve for the advancement of the theory of couled dynamical systems with multiple time scales.

不同尺度耦合系统具有广泛的工程背景，深入分析高余维下的簇发振荡及其机理具有重要的理论意义及潜在的应用价值，也是当前国内外非线性研究的热点和前沿课题之一。本项目围绕多尺度耦合非线性动力系统，通过分离快慢子系统，深入分析不同尺度上子系统的各种平衡态及其分岔行为，尤其是高余维分岔模式。探讨不同沉寂态和激发态失稳条件，结合慢子系统的各种调节行为，考察各种条件下簇发振荡的动力特性及其相应的分岔机理，探讨不同耦合方式及参数对耦合系统演化过程的影响规律，结合各种分岔的标准型，给出开折参数下所有可能的微扰特征，揭示不同簇发尤其是高余维分岔连接快慢时的簇发行为的特征及其相应的机理，进而研究不同周期激励模式下两时间尺度耦合系统的各种簇发行为及其分岔机制，探讨不同分岔下的簇发振荡的本质，给出不同簇发振荡的标准型，并进一步将结果推广到分析三时间尺度耦合系统的簇发，为发展多时间尺度耦合系统理论提供支撑。

不同尺度耦合会导致一些特殊的振荡行为, 通常表现为大幅振荡与微幅振荡的组合, 也即所谓的簇发振荡.本项目围绕多尺度耦合非线性动力系统，通过分离快慢子系统，深入分析不同尺度上子系统的各种平衡态及其分岔行为，尤其是高余维分岔模式, 揭示存在非光滑因素时动力系统的不同尺度耦合效应及复杂振荡产生的分岔机理。对含不同尺度的四维分段线性动力系统模型，基于快子系统在不同区域中的平衡点及其稳定性分析, 探讨不同沉寂态和激发态失稳条件,以及系统轨迹穿越非光滑分界面时的分岔分析,得到了不同余维非光滑分岔的存在条件及其分岔行为。进一步,考虑三时间尺度耦合系统的簇发，揭示三时间尺度耦合下分段线性系统的复杂动力学行为及其产生机制。以经典蔡氏电路为基础，通过引入周期变化的交变电流源，并适当选择参数，建立了含三个时间尺度的四维非光滑动力系统。考察了在最快时间尺度上的广义自治系统的常规分岔，以及系统轨迹在穿越非光滑分界面时产生的非常规分岔。分析发现在不同的参数条件下，分别存在着单次穿越的非常规fold分岔和二次穿越的非常规fold-Hopf分岔。同时采用包络快慢分析法，将外激励项在极值处最快子系统的平衡点分岔图与系统相图相叠加，探讨了不同簇发振荡的产生机理，揭示了三尺度之间的相互作用机制及非光滑因素下各种非常规分岔对系统动力学行为的影响规律。在以上研究的基础上，增加了非光滑分界面，分析了含两对对称非光滑分界面的三时间尺度系统的动力学行为。通过平衡点稳定性分析和非光滑分岔分析，发现随着参数的变化，不同区域中对应平衡点的稳定性发生改变，导致系统簇发振荡产生的激发态和沉寂态的形式有所不同，得到了焦点到焦点的对称式fold/fold簇发和对称式fold/Hopf/fold簇发。利用包络快慢分析法讨论了不同尺度效应下系统簇发振荡时激发态与沉寂态相互转换过程中的非光滑分岔机理，并结合系统相图和时间历程图解释了三个尺度在系统轨线整个簇发振荡过程中的影响规律。