离散动力系统的余维2分岔及其应用

Bifurcation is an important research problem in nonlinear science and its research object is the system with unstable structure. For all but two cases, codimension two bifurcations of a generic discrete dynamic system, only approximate normal forms can be constructed. The approximate normal forms are not completely topologically equivalent to the original discrete dynamic system. Only the correspondence of some local bifurcations can be guaranteed. Thus, the bifurcation structure near the bifurcation point is not completely clear.. This project will be devoted to the study of strong resonance in codimension 2 bifurcation of a generic discrete dynamical system. Combining the adjoint operator method with the approximate identity transformation, we calculate the normal form of strong resonance. Using the appropriate number of Picard iterations, we approximate the system by the unit-time flow of a planar continuous system. Based on the local bifurcations of the continuous approximate system, we analyze the local bifurcations of the discrete dynamical system and give the expression of the bifurcation curves. For the large-scale bifurcations such as limit cycles, homoclinic orbits or heteroclinic orbits of the continuous approximate system, Poincare mapping is introduced to analyze the bifurcation types on the invariant sets of the original discrete dynamic system according to the bifurcation types on limit cycle bifurcation or invariant torus. Then the bifurcation diagram near the critical point is given as complete as possible, and the theoretical results are applied to the fields of biology and economics.

分岔是非线性科学的一个重要研究问题，其研究对象是结构不稳定的系统. 离散动力系统的余维2分岔除两种情形外，只能构造出近似规范形，而近似规范形与原离散动力系统并不完全拓扑等价，只能保证某些局部分岔的对应性，从而分岔点附近分岔结构并不完全清楚. . 本项目将致力于研究离散动力系统余维2分岔中的强共振. 利用共轭算子法和近似恒同变换，计算强共振的近似规范型；利用适当次数的 Picard 迭代，将系统化为近似恒同映射；利用时间1近似流理论找出其连续近似系统；根据连续近似系统的局部分岔分析原离散系统对应的局部分岔，进而给出分岔曲线的解析表达式；对连续近似系统的极限环、同宿轨或异宿轨这样大范围的分岔，引进Poincare映射，根据极限环分岔或不变环面上的分岔类型，分析原离散动力系统不变集上的分岔类型；进而给出临界点附近尽可能完全的分岔图；将理论结果运用到生物学、经济学等领域.

一、项目背景. 一个动力系统随离散时间发展变化则称离散动力系统. 对于含参数的系统，当参数在临界值附近发生微小改变时，系统的稳定性或拓扑结构可能会发生本质变化. 这种变化称为动力系统的分岔. 余维是确定动力系统分岔的独立条件的参数个数. 离散动力系统的余维1分岔理论分析比较完善，但离散动力系统的余维2分岔，大多数结果是不完全的..二、主要研究内容及重要结构.1、对于一般的二维双参数离散动力系统，我们直接根据系统在共振点处的截断规范型，研究系统的可能的局部分岔类型，并给出分岔曲线的解析表达式，这些方法与现有方法不同. 我们重点研究了发生1:1强共振分岔时，在分岔点附近非退化的Fold分岔和Neimark-Sacker分岔的解析表达式，并给出了完整的证明过程. 研究此系统可能存在的全局分岔时，我们对系统的规范型进行适当次数的Picard迭代，使其接近于恒同映射，利用近似流理论，构造适当的连续系统，使它沿轨道的单位时间位移与近似恒同映射的Taylor展式直到阶重合. 根据此连续近似系统的全局同宿分岔曲线，研究其指数型狭窄的参数范围内，存在离散系统的同宿切触..2、考虑离散生物系统，我们研究了系统在唯一正平衡点处发生1:2和1:3强共振的条件，并给出分岔点附近分岔曲线的解析表达式；在生物学中，分岔和不稳定的波动可能对生物种群的繁殖有害. 因而，我们将混合控制策略扩展到控制1：2和1：3分岔；随后利用数值模拟验证理论分析结果，并通过使用MatContM包，进行了分岔的数值分析，其中分岔点和非退化条件的系数与我们的理论完全一致，这些结果进一步支持了我们的理论分析；最后根据研究结果，分析了弱Allee效应对系统的影响，并对这些结论给出了合理的生物学解释..3、考虑双寡头垄断混合竞争的离散经济系统，我们利用中心流型定理和分岔理论研究了系统所有可能的余维1分岔存在的参数条件，并给出这些分岔具体的参数表达式，针对Neimark-Sacker分岔，利用Fredholm交替定理和近似恒同变换，我们给出了不变曲线的近似表达式..三、科学意义. 进一步完善离散动力系统余维 2 分岔中的强共振理论. 并将理论结果运用到生物学和经济学模型，根据实际背景解释说明分岔代表现象和意义、揭示实际模型的内在规律并预测它的未来发展趋势；根据需求对分岔进行控制，有效消除分岔所导致的不良后果。