高余维局部分岔的复杂动力学行为研究

The complicated dynamics of local bifurcations with high con-dimension is one of the hot and leading topics in the research area of nonlinear dynamics at home and abroad. Up on the current theory of local bifurcations, the dynamics of local bifurcations with high con-dimension will be investigated in details in the project. The problems of local bifurcations will be divided into different types according to the eigenvalue structure of the related equilibrium points. By employing the theory of center manifold, the normal form theory as well as the singularity theory, the normal forms as well as the corresponding universal unfolding of the local bifurcations with codimension-3 and codimension-4 will be derived to explore the bifurcation behaviors. The universal program will be developed upon Maple to compute the coefficients of the norm forms as well as the universal unfold of the vector fields from the coefficients of the original vector fields. The bifurcation behaviors on the space of three unfolding parameters of codimension-3 bifurcations and four unfolding parameters of codimension-4 bifurcations will be presented to develop the theory of co-dimension bifurcation theory, which may be demonstrated by the suitable models in science and engineering. The results of the project have not only scientific meaning to high co-dimension bifurcation theory, but also significance to the practical applications in real systems, such as the model recognition, failure diagnosis, structure optimization as well as control.

高余维局部分岔及其复杂动力特性研究一直是国内外非线性动力学领域内的热点和前沿课题之一。本项目在当前局部分岔理论结果的基础上，深入探讨高余维分岔的动力特性，按照一般向量场中平衡点雅克比矩阵不同特征值结构分类，针对不同类别的问题，应用中心流形定理、向量标准型理论和奇异型理论，重点分析各种余维三和余维四局部分岔行为，推导各种不同余维分岔的标准型及其普适开折，进而研制开发计算不同余维分岔的向量场标准型及其普适开折系数的通用计算机符号推导程序，分析不同余维三分岔在三开折参数空间中分岔集及不同区域中的分岔行为，给出不同余维四分岔在四开折参数空间中分岔特性，发展余维分岔理论，为考察更高余维分岔提供基础，并结合相应的工程或科学问题的数学模型进行对比分析。本项目的工作，对于发展高余维分岔理论具有重要的科学意义，同时，对于实际工程系统的应用，如模型设别、故障诊断、结构优化及其控制等等也具有重要的应用价值。

经过一个多世纪的发展，低维非线性动力系统的研究取得了重大突破, 从而奠定了非线性动力学的基本理论框架体系。对于导致非线性系统复杂性的原因之一的各种局部分岔行为的研究，一直伴随并且见证着非线性动力学理论的发展历程。而各种局部分岔，又存在着不同的余维数，对应于向量场平衡点的退化次数，也即确定所有分岔行为所需要的独立参数的数目。由于实际工程系统大都是高维系统，即使对于低维系统，也会存在着高阶退化情形，而高余维系统又存在着非常复杂的动力特性，迄今为止，相关工作大都局限在低余维分岔研究上，高余维局部分岔及其复杂动力特性研究一直是国内外非线性动力学领域内的热点和前沿课题之一。本项目在当前局部分岔理论结果的基础上，深入探讨了高余维分岔的动力特性，按照一般向量场中平衡点雅克比矩阵不同特征值结构分类，针对不同类别的问题，应用中心流形定理、向量标准型理论和奇异型理论，重点分析了各种高余维局部分岔行为，推导各种不同余维分岔的标准型及其普适开折，进而研制开发计算不同余维分岔的向量场标准型及其普适开折系数的通用计算机符号推导程序，重点分析了各种余维三分岔在三开折参数空间中分岔集及不同区域中的分岔行为，并结合相应的工程或科学问题的数学模型进行对比分析。同时，具有广泛工程背景的不同尺度耦合系统，通常表现为在大幅振荡和微幅振荡之间交替变化的簇发振荡，而分岔是导致这种交替的原因。不同余维分岔下簇发振荡存在不同的模式，为深入揭示这些特殊动力行为的机理，结合上述结果，分析了不同余维分岔下两尺度耦合导致的各种簇发振荡及其产生机制。本项目的工作，对于发展高余维分岔理论及不同尺度耦合系统理论具有重要的科学意义，同时，对于实际工程系统的应用，如模型设别、故障诊断、结构优化及其控制等等也具有重要的应用价值。