约束力学系统的对称性、约化与控制

本项目以对称性为主线，研究三部分内容：一、研究弱Noether对称性、Lagrange对称性等新的对称性，通过对称性寻找守恒量，进而研究系统的稳定性；以广义Birkhoff方程为基础构建广义Birkhoff动力学；研究对称性与混沌、分岔的关系，以及对称性破坏对混沌、分岔的影响。二、在离散几何力学框架下，研究约束系统的Poisson约化和离散约化，利用几何不变性构造具有对称性系统的保结构算法，进而研究非线性约束系统的保结构算法。三、将保结构算法与H∞控制相结合，研究完整约束系统的H∞控制保结构算法，用对称性约化理论对有对称性的上述系统构造H∞控制积分子，并将结果推广至有对称性的非完整系统；推广离散Lagrange-D'Alembert-Pontryagin 变分原理，使之适用于H∞控制问题；将H∞控制保结构算法应用于卫星避让控制的简化模型，通过仿真检验算法的有效性。

本项目“约束力学系统的对称性，约化与控制”经过项目组成员4年的努力工作，取得了重要进展。. 1、在经典分析力学研究方面.(1) 将多种积分方法应用于约束力学系统，包括Lagrange对称性，Lie对称性，形式不变性，共形不变性，Jacobi乘子法，Poisson方法, 场方法，势积分方法, 广义正则变换, 降阶法等。将分析力学的积分方法用于求解微分方程。.(2) 构造了广义Birkhoff系统动力学的理论框架，包括原理，方程，积分方法, 逆问题，稳定性等。.(3) 借助梯度系统的性质研究约束力学系统的稳定性，包括约束力学系统的梯度表示及稳定性研究。. 2、在几何力学研究方面.(1) 探讨了基于非完整映射的Riemann-Cartan流形的几何构造及其应用。.(2) 讨论了非完整约束力学系统的Birkhoff逆问题与对称约化问题，包括Chaplygin非完整系统的Birkhoff逆问题，一般非完整系统的广义Birkhoff逆问题，Chaplygin非完整系统的对称约化，高阶非完整系统动力学及其广义Birkhoff表示，Birkhoff函数（组）的构造方法等。.(3) 研究了非完整力学系统和Birkhoff动力学系统的保结构算法，包括Chaplygin非完整力学系统的保结构算法，机电耦联系统的保结构算法，Birkhoff力学系统的保结构算法等。. 3、在几何力学与控制结合方面.(1) 初步建立了Birkhoff系统的控制理论框架；推广了离散Lagrange-d'Alembert-Pontryagin 变分原理，利用李群变分积分子、几何变分法等研究了自动车辆的最优编队控制问题，并通过仿真验证了算法的有效性。.(2) 研究了最优控制状态受限于发展方程的后验误差估计问题以及分布式最优控制中的数值计算问题。.(3) 将信息几何与控制相融合，在信息几何的框架下，讨论了系统的稳定性、控制等问题。