约束动力学系统的保结构模型约化及保结构算法研究

The development of structure preserving algorithms of constrained dynamical system is hindered by the complexity of the constrained system, even though they have advantages over classical integration methods on increased accuracy and invariance preserving properties. However geometric mechanics has become a perfect theory and can be used for low-dimensional model reduction of dynamical system. The structure preserving algorithms of the constrained dynamical system can be well designed based on its reduced model, which helps to design parallel algorithms and study the behavior characteristics of the constrained dynamic system deeply. For some typical constrained dynamical systems, we’ll study their structure preserving model-reduction theory, low-dimensional model description and its corresponding properties. Based on their reduced model, we’ll study their structure preserving algorithms and related issues. At the same time, based on Lie group integration methods, we’ll construct structure preserving algorithms of constrained dynamical system by means of direct sum decomposition of the direct product space of the configuration space of the constrained system and its symmetry group. And we’ll give the error estimation of the algorithms, analyze their stability and the dynamical invariance of original system. Then we’ll discuss how to reduce the amount of calculation, to improve the efficiency of the algorithms. Finally we will try to develop a set of stylized and united theory for modeling the constrained dynamical system, its low-dimensional model reduction and structure preserving simulation, in order to provide theoretical and computational methods for solving these systems. And we’ll also discuss the abundant qualitative properties, asymptotic characteristics, strange attractors of the original system.

保结构算法在提高计算精度和保持系统的不变量性质等方面均比传统的积分算法有优势。由于约束动力学系统的复杂性，其保结构算法研究发展缓慢。目前几何动力学的研究日趋完善，可用于系统模型的降维约化。基于几何动力学约化系统模型开展其保结构算法研究是恰当的，便于设计并行算法，有助于理解系统本质的力学含义。本项目拟针对若干典型约束动力学系统问题，研究保持其几何性质的模型约化理论及降维后子系统的正确描述及性质；基于约化模型研究其保结构算法及相关理论；基于李群积分的思想，在原系统位形空间与其对称性群的直积空间直和分解的基础上约化模型并构造其保结构算法。对算法进行误差估计和稳定性分析，对系统动力学不变量进行误差分析。讨论减少计算量、提高算法效率的问题。力图发展一套程式化、一体化的建模、约化及其保结构算法的理论体系，为约束动力学系统问题的求解提供理论和方法。深入讨论系统丰富的定性性质、渐近特征、奇怪吸引子等。

大量的动力学系统蕴含某个或多个不变量，传统的积分方法通常不能保持这些性质，而保结构算法可以保持系统的不变量性质。目前几何动力学的研究日趋完善，可用于系统模型的降阶约化。基于几何动力学约化系统模型开展保结构算法研究是恰当的，便于设计算法，有助于理解系统本质的物理意义。本项目主要针对具有内禀属性约束的动力学系统问题，研究保持其几何性质的模型约化及降阶后的系统的正确描述及性质；基于约化模型和李群积分的思想研究其保结构算法及相关理论。基于约化模型研究了波动方程的半离散有限差分及其一致逼近性问题，证明了降阶有限差分格式的一致指数稳定性及差分解的弱收敛性，并证明了半离散降阶有限差分格式的一致可观测性及一致可控性。这类有限差分格式，没有数值粘性项，不仅对波动方程提供了一种可工程实用的格式，而且可以用于其它类型的偏微分方程系统，可以处理不同的边界条件。基于模型约化研究几类多组分玻色-爱因斯坦凝聚体系统的动力学问题，研究了凝聚体的基态属性、自旋纹理、动力学特性及相应的渐近性质。同时通过托马斯-费米近似得到了凝聚体出现不同基态的临界条件，数值结果与解析近似吻合。研究了具有软核长程相互作用的自旋轨道耦合玻色气体的基态相，指出旋转玻色-爱因斯坦凝聚体的方法可以推广到更一般的gauge系统。进一步发现了旋转自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体的具有条纹结构的新奇基态，指出旋转角频率约束范围。这些研究结果将为实验上实现两组分自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体具有指导意义。为了深刻理解玻色-爱因斯坦凝聚体中量子湍流的动力学性质，研究了两个涡旋偶极子的微观相互作用问题，研究了在密度均匀分布的凝聚体中两个运动方向彼此平行的涡旋偶极子的碰撞问题，研究了两个不同大小的涡旋偶极子的追及问题，观察到了涡旋的湮灭和复活现象，给出了相应的动力学参数空间相图，并通过类比流体涡旋求解简化描述的涡旋间相互作用常微分方程组证明了我们的结论。