多孔介质中非线性Stokes/Darcy-Forchheimer耦合模型的快速算法研究

Mathematical and physical model for fluid flow in porous media leads to highly coupled time-dependent nonlinear partial differential equations, which are widely used in the exploration and production of underground fluid resources such as oil, natural gas in petroleum reservoir. Numerical simulation of porous flow not only covers wide areas also long duration of time, this results in high computation complexity, slow convergence and long computation time. Therefore, it is urgent to design fast solvers for the coupled nonlinear models, and further research is needed. Notice that it is not easy to construct fast algorithms for coupled nonlinear models because they are very complicated with the involved complex interface conditions and usually appear as saddle point problems. Inspired by this, the project mainly focus on fast algorithms for two dimensional coupled Stokes/Darcy-Forchheimer model. The coupled nonlinear models, which are decoupled by the appropriate algorithms, are discretized by mixed finite element methods. Robust and efficient nonlinear geometry multigrid methods are designed with suitable smoothers and lifting operators for the considered nonlinear models, and rigorous theoretical analysis and numerical experiments are given. Moreover, efficient nonlinear multigrid methods are expanded to three dimensional problems. The project is a further exploration and supplement to applications and theoretical research on fast algorithms for coupled nonlinear models for fluid flow in porous media. In addition, the completion of this project will provide theoretical and technical support to the various applications of nonlinear multigrid methods.

多孔介质中流体问题广泛存在于石油、天然气等地下流体资源的开发中，其数学模型是依赖于时间的强耦合非线性偏微分方程组。流体问题的数值模拟涉及长时间域、大范围的计算，这导致计算量比较大，计算时间长，收敛速度较慢，因此对大规模、长时间流体问题的数值模拟设计高效快速算法是十分必要的。耦合模型是一类鞍点问题，同时涉及复杂界面情形，因此对其设计快速算法不是一件容易的事情。本项目以二维非线性Stokes/Darcy-Forchheimer耦合模型为切入点，对鞍点问题，设计合理的解耦算法，构造健壮的非线性几何多重网格方法，进行非线性多重网格方法收敛性的理论分析和最优阶误差估计。我们将采用混合元方法离散，并通过构造合适的光滑子，网格间的插值算子以及限制、提升算子，给出算法设计。最后，将结果推广到三维情形，模拟实际问题，实现相应的计算程序。本项目旨在为非线性多重网格方法在不同领域的应用和发展提供理论与技术支持。

多孔介质中流体问题广泛存在于石油、天然气等地下流体资源的开发中，其数学模型是依赖于时间的强耦合非线性偏微分方程组。流体问题的数值模拟涉及长时间域、大范围的计算，这导致计算量比较大，计算时间长，收敛速度较慢，因此对大规模、长时间流体问题的数值模拟设计高效快速算法是十分必要的。本项目围绕多孔介质中非线性Darcy-Forchheimer耦合模型的快速算法开展了一系列数学理论、数值算法及应用等相关研究工作。首先我们针对二维、三维强可压非线性Darcy-Forchheimer混溶驱动耦合模型，构造了高效特征块中心有限差分方法，给出了相应的误差估计，数值模拟了二维、三维点源点汇实际应用。针对微可压非线性Darcy-Forchheimer混溶驱动耦合模型的特征块中心有限差分方法及两网格快速算法，并给出了严格的理论分析。同时，从理论和数值的角度研究了裂缝性多孔介质中可压缩流体流动的混合维耦合模型，其中裂缝中的流体流动受Brinkman模型和周围多孔介质中的Darcy模型控制。为求解非匹配网格上的混合维耦合模型，构造了一个节点最少的有限体积格式。给出了不同网格尺寸的二阶误差估计。通过数值实验验证了该方法的有效性和准确性。研究了裂缝中渗透率、宽度和粘度等参数以及数学模型中引入的积分参数对裂缝系统流体流动特性的影响。另外，针对时间分数阶热传导反问题构造了相应的高效数值方法。结合隐式有限差分方法离散数学模型，采用迭代正则化方法求解病态反问题。针对非线性系数反问题，设计了高效的神经网络方法。结合CNN，构造了相应的神经网络，并且对常系数以及变系数的情形，与传统正则化方法数值求解非线性反问题，进行了计算效率和计算精度的对比。针对科尔-科尔色散介质中的麦克斯韦方程，设计了一种快速二阶时域有限差分算法。在时间方向上采用加权方法，在空间方向上采用时域有限差分法，实现了二阶时空精度。针对时间分数阶Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程构造高阶无条件能量稳定格式。其中时间方向上采用稳定化方法和SAV方法，严格证明了原始模型以及离散格式的无条件能量稳定性。