超图的解析连通度与邻接H-谱半径相关问题研究

In recent years, the spectral hypergraph theory combined with tensors has developed rapidly. Besides the classical problems such as the spectral radius of hypergraphs, the analytic connectivity of hypergraphs, corresponding to the algebraic connectivity of graphs, has been paid more and more attention. In the spectral graph theory, the algebraic connectivity of graphs is closely related to the invariants such as the diameter, connectivity, bandwidth, isoperimeter and expender of graphs, and has a wide range of practical significance in physics, chemistry and networks. The analytic connectivity also plays an important role in studying the structural properties of hypergraphs, such as the Cheeger inequality for hypergraphs..This project will study properties of the analytic connectivity and the H-spectral radius of hypergraphs, including the following: (1) Investigating the relationship between the analytic connectivity and its corresponding eigenvector components. (2) Studying the relationship between the analytic connectivity and the graph invariance. (3) Determining the upper bounds of the H-spectral radius for k-uniform r-colorable hypergraphs (4)Determining the upper bound of the H-spectral radius for the 3-uniform maximal planar (outerplanar) hypergraphs.

近年来，结合了张量方法的超图谱理论随着张量特征值理论的建立和完善迅速发展。在超图谱理论的研究中，除了邻接谱半径等经典问题研究以外，与代数连通度相应的超图的解析连通度及其相关问题研究逐渐受到关注。图谱理论中图的代数连通度与图的直径、连通度、带宽、等周数、扩充因子等不变量之间关系密切，并在物理、化学、计算机网络中有广泛的实际意义。而解析连通度在研究超图结构性质方面也体现出了很好的作用，如建立了超图上的Cheeger不等式等。.本项目计划对超图的解析连通度与邻接H-谱半径及相关问题作进一步探索，主要内容包括:(1) 研究解析连通度与对应特征向量分量之间的关系。(2)研究解析连通度与图的不变量之间的关系。(3) 研究k-一致r–可着色超图的邻接H-谱半径上界并刻画极图。(4) 确定3-一致极大可平面（可外平面）超图邻接H-谱半径上界并刻画极图。

近年来，结合了张量方法的超图谱理论得到了迅速发展，并广泛地应用到心理测量、医学成像、信号处理等多个领域。超图的H-邻接谱半径作为图的谱半径在超图上的推广，是超图谱理论的经典问题。另外，与一般图的代数连通度相应的超图的解析连通度及其相关问题研究逐渐受到关注。图的代数连通度与图的直径、连通度、带宽、等周数、扩充因子等不变量之间关系密切，并在物理、化学、计算机网络中有广泛的实际意义。而解析连通度在研究超图结构性质方面也体现出了很好的作用，如建立了超图上的Cheeger不等式等。.本项目计划对超图的解析连通度与邻接H-谱半径及相关问题作进一步探索，并取得一系列成果。主要内容包括: .（1）利用张量特征值的相关性质，结合赋权关联矩阵与超图邻接H-谱半径之间的关系，研究超图在边移接以及收缩等图变换下邻接H-谱半径的变化情况。.（2）给出了有向超图更一般的定义，同时根据张量特征值理论，借助赋权关联矩阵，刻画了有向超图邻接谱半径在不同划分下的表现形式以及性质。.（3）利用图代数连通度的Cheeger不等式与图划分之间的关系，从图谱理论的角度研究加入度矫正参数后的谱聚类方法。.该项目结题后，我们将在以上研究成果的基础上，进一步开展基于超图谱理论的一致（随机）超图相关结构性质研究以及谱理论在复杂网络分析中的应用等研究。