超图的张量谱半径研究

The spectral theory of hypergraphs mainly studies the spectral properties of the tensors determined by hypergraphs, including the properties of eigenvalues and eigenvectors, in order to reveal the structure and intrinsic relationship of the hypergraphs. We will investigate the spectral properties of adjacency tensors, Laplacian tensors and signless Laplacian tensors of hypergraphs, as well as some applications of these spectral theories in discrete mathematics. On one hand, we will give some sharp bounds on the (H- or Z-) spectral radii of the tensors associated with uniform hypergraphs in terms of the topological parameters, and characterize the extremal hypergraphs and order the hypergraphs according to the spectral radius in some hypergraph classes. On the other hand, we will search the tensor spectral condiction of the existence of Hamilton cycle in uniform hypergraphs.

超图的张量谱理论主要研究一些由超图确定的张量的特征值、特征向量等谱性质来揭示超图的结构和内在关系。本项目主要研究超图的张量谱问题，包括超图的邻接张量谱、Laplacian张量谱、无符号Laplacian张量谱性质。研究的重点是利用超图的一些拓扑参数给出相应张量（H-或Z-）谱半径的紧的界，在一些给定拓扑参数的一致超图类中，刻画相应（H-）谱半径的极图以及排序，以及研究一致超图中存在Hamilton圈的张量（H-）谱条件。

超图的张量谱理论是图谱理论的发展。本项目主要围绕一般超图的张量谱半径及相关问题展开研究。我们用最大度、边数、顶点数刻画了一般超图的张量谱半径（包括邻接张量谱半径和无符号Laplacain张量谱半径）的上界，研究了边变换对张量谱半径的扰动，并作为应用刻画了给定边数的超树、给定悬挂边数的超图、给定边数的单圈超图中张量谱半径达到最大的极图。对于普通图而言，图的张量退化成矩阵。一方面，我们用图的平均度、顶点的度刻画了图的谱半径（包括邻接谱半径和无符号Laplacian谱半径）的下界，研究了谱半径对应单位特征向量的分量的极值问题等；另一方面， 我们研究了图的距离谱半径和距离Laplacian谱半径的极值问题。这些结果在一定程度上揭示了超图张量谱性质与超图结构性质的若干联系，为超图张谱理论的应用提供一定的理论基础。