Hamilton-Jacobi方程（组）中的不可逆性

The irreversibility for the viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations embodies the dynamical complexity in the study of Hamiltonian dynamical systems. The main purpose of this project will be contributed to the study between dynamical complexity and the irreversibility associated to the propagation of singularities, compactness estimate of Lax-Oleinik semigroups and the intrinsic coupling of Hamilton-Jacobi systems, especially to establish the deep relations between the mechanism for the global connecting orbits in Hamiltonian systems and the the irreversibility phenomenon. We expect the breakthrough in the relevant fields.

Hamilton-Jacobi方程（组）的粘性解从不同角度体现了Hamilton动力学复杂性决定的不可逆现象。本项目将就粘性解的奇性传播、Lax-Oleinik半群的紧性估计以及Hamilton-Jacobi方程组的内蕴耦合系统，深入研究其与动力学复杂性之间的关系。尤其是建立Hamilton动力学中的大范围轨道连接机制与这些不可逆性的体现数学上深刻的联系。以期推动相关领域的突破性进展。

本项目在Hamilton-Jacobi方程粘性解奇性理论、切触动力系统等领域展开研究。在Hamilton-Jacobi方程奇性、切触型Hamilton-Jacobi方程研究等方面取得了突破性成果。另外还进一步拓展了与项目密切相关的研究工作。建立了与偏微分方程、数学物理中很多新问题的联系，初步开展在平均场博弈论等一些原创性研究工作。已经取得了初步成果。..Hamilton-Jacobi方程粘性解的奇性是Hamilton动力系统的动力学复杂性的一个重要体现。它体现了一种不可逆的行为。与合作者率先引入了内蕴方法研究粘性解奇性传播，取得了突破性的进展。与合作者首次利用Lax-Oleinik正负半群的相互作用，给出十分简单的关于奇性传播的内蕴机制。进而建立了Aubry集与奇点集和割迹的拓扑联系。证明了奇点集或割迹与粘性解的Aubry集的补集同伦等价，并且奇点集与割迹均为局部可缩。并且，解决了Riemann几何中一个长期未决的问题：完备Riemann流形上闭子集割迹的局部可缩性和道路连通性。我们还将该方法运用到各类相关问题。..切触Hamilton系统是一类特殊的耗散系统。在国内学者前期工作基础上，解决了Herglotz型变分问题的正则性，给出了切触型HJ方程的与前者不同等价处理办法。进而，首次对于一般的接触项消失的问题中也取得了肯定的答案。除此之外，对于欧氏空间上的遍历型一阶平均场博弈论系统解的存在性、长期行为及收敛速度的估计，我们做出了尝试。取得了丰硕的成果。