带有边界层效应的粘性流问题的杂交网格低阶有限元方法研究

Along with the continuous improvement of the performance of computers, the research on efficient algorithms for solving the large-scale flow problems has become one of the forefront hot topics. Finite element methods have been proved to be efficient for many problems of partial differential equations, but different problems usually need special treatments. There are very important in practical applications to design accurate and efficient numerical algorithms for the flow problems with the boundary layers, like the problems of flow passing an aircraft or a cylinder. In this project, by taking advantage of the special features of the flow, we propose to use the hybrid meshes, on which the constrained linear elements are utilized, and construct a lower order stabilized finite element method on the hybrid meshes based on the well-studied stabilized technique of two local Gauss integrations, then develope an extensible parallel algorithm using the domain-decompositon-based Newton-Krylov-Schwarz method. Thus we hope to provide some efficient algorithms and theorical justifications for the numerical computations of flow problems with the boundary layers, which are difficult to solve but have wide applications in engineering.

随着计算机的性能不断提高，大规模流动问题的高效求解算法成为当前计算数学界和工程界的前沿研究热点之一。有限元方法在偏微分方程相关的问题中得到了广泛的应用，而不同类型的问题又往往需要设计特殊的有限元格式。对于具有边界层效应的流动问题(飞机外部绕流问题、圆柱绕流问题等等)，设计非常准确且高效的数值算法对实际应用有重要意义。本项目根据流动的特性，拟使用杂交网格技术，结合四边形和六面体上的约束线性元构造方法，利用深入研究过的基于局部高斯积分的稳定化有限元思想，构建能够处理边界层效应的流动问题的低阶有限元求解方法。然后通过基于区域分解的Newton-Krylov-Schwarz方法，设计能够高效求解的可扩展并行算法，从而为难以求解但又有着重要工程应用的带有边界层效应的粘性流问题提供有效的算法及其理论支持。

针对问题中具有边界层效应流体力学问题，我们的研究侧重于有限元方法的两类技巧进行研究，一类是具有普适性的自适应有限元方法，我们结合变分多尺度方法和Newton线性化以及显示/隐式迭代进行自适应【附件3】，和结合局部并行算法和可自由扩展的单位分解方法(具有某种自适应性)进行研究【附件4,5】，这类方法是当前求解流体问题的最热门的一类方法。另外一类是采用杂交网格，基于对问题的先验认识或者说理论分析结果，直接构造和问题的解具有较好匹配性的杂交网格，即在边界层区域使用长条状的四边形/六面体/五面体网格，在其它区域采用三角形/四面体区域，并最终在所有单元上采用线性元，期望用较少的自由度或者说求解规模获得较高的数值解。对这类方法，我们已经构造出五面体上的受限制的线性元，并且基于杂交网格进行了有限元分析，正在进行编写了相应的有限元程序，这部分工作正在最后的数值模拟和整理当中。此外，我们对非定常流体问题发展了一类时间推进数值方法【附件6】，在后续的工作中会结合前一种方法对更加符合现实流动规律的非定常边界层问题进行研究。并且，我们还研究了能改善条件数、提供求解效率的加罚有限元方法【附件7】。由于目前计算数学领域研究学者众多，国际著名杂志的审稿周期都普遍较长，我们的研究工作中产生的成果大多都在审稿当中，目前有两篇已经进行了修改再投递，并在审稿当中，其中一篇是在国际顶尖杂志美国工业与应用数学学会(SIAM)的源期刊上。