非定常对流占优问题的一类新型全离散数值方法

Along with the improvement of the high-performance computers, research on the efficient and fast algorithms for solving the time-dependent convection-dominated problems has become one of the hot topics in the fields of computational mathematics and engineering, and isvery important in practical applications. In this project, we shall make full useof the special feature of the convection-dominated problems, i.e., the convection effect dominates significantly the diffusion effect, to develop and analyse a new class of numerical methods for solving these problems based on the idea of operator splitting. The notable advantages of the new methods lie in the following characteristics, namely each time step, the original problem is split into several sub-problems of the pure convection and the pure diffusion types with some special and nice structures. We shall propose a new explicit scheme to solve the convection sub-problem. Meanwhile, in order to overcome the restriction of the time step caused by the explicit treatment, we shall design some multistep schemes to significantly improve the stability of the explicit scheme. Using the special features of the new methods that the stiff matrices of all sub-problems are invariant in time advancing, and with nicestructures, we shall combine some preconditioning techniques to construct and analyse a lass of efficient and scalable parallel algorithms. Eventually, we shall provide some new efficient and fast numerical algorithms for he time-dependent convection-dominated problems, and develop a systematic theory for the justifications of the methods.

随着计算机性能的不断提高，非定常对流占优问题的高效及快速求解算法成为当前计算数学界和工程界的研究热点之一，对实际应用有着重要的意义。本项目利用对流占优问题中对流效应远远大于扩散效应的特性，基于算子分裂思想，发展和研究一类求解对流占优问题的新型高效算法。这类方法的显著特点是，在每个时间步上将原问题分裂成若干个具有某种特性和良好结构的子问题，这些子问题全部由纯对流的和纯扩散的两类子问题组成。我们将提出一种新的显式格式求解对流子问题，同时为了克服由于显式处理带来的时间步长限制,我们设计一些稳定性强的多步格式，从而显著地改善显式格式的稳定性。由于所有的子问题对应的刚度矩阵在时间推进中保持不变且具有一些良好的结构好，我们结合预条件处理技术，设计出一套高效可扩展并行算法，从而为难以求解但又有着重要科学计算和工程应用的一类对流占优问题提供一套高效及快速的数值方法，并配以系统的理论支持。

随着计算机性能的不断提高,非定常对流占优问题的高效及快速求解算法成为当前计算数学界 和工程界的研究热点之一,对实际应用有着重要的意义。本项目利用对流占优问题中对流效应 远远大于扩散效应的特性,基于算子分裂思想,发展和研究一类求解对流占优问题的新型高效 算法。这类方法的显著特点是,在每个时间步上将原问题分裂成若干个具有某种特性和良好结 构的子问题,这些子问题全部由纯对流的和纯扩散的两类子问题组成。我们将提出一种新的显 式格式求解对流子问题,同时为了克服由于显式处理带来的时间步长限制,我们设计一些稳定 性强的多步格式,从而显著地改善显式格式的稳定性。由于所有的子问题对应的刚度矩阵在时 间推进中保持不变且具有一些良好的结构好,我们结合预条件处理技术,设计出一套高效可扩 展并行算法,从而为难以求解但又有着重要科学计算和工程应用的一类对流占优问题提供一套 高效及快速的数值方法,并配以系统的理论支持。