各向异性网格下Oseen问题的稳定化有限元方法

There are two main obstacles when solving Oseen problems. First, mixed finite element spaces need to satisfy LBB condition. Second, standard Galerkin discretization will cause non-physical oscillations for problem with convection dominated property. Stabilized method is an efficient way to solve the two obstacles above. So far, most stabilized methods are based on isotropic meshes. For those problems having boundary layers, shock waves, interface, and edge singularities, e.t., numerical methods using anisotropic meshes will not only approximate physics properties of the true solution better, but also reduce the freedom of unknowns and thus save computational load. This project will establish stabilized method for Oseen problems under anisotropic mesh, study corresponding adaptive strategy which includes h method, r method and hr method, and then program to solve pratical physical problems.

求解Oseen问题的混合有限元方法通常有两个障碍，其一，混合有限元空间要满足LBB条件；其二，若问题具有对流占优性质，采用标准的Galerkin离散方法会导致近似解的非物理震荡。稳定化方法是扫除这两个障碍的有效工具。到目前为止，大多数稳定化方法都采用各向同性网格，但对于边界层、激波、交界面及边奇异等问题的数值算法，采用各向异性网格不仅可以更好的逼近真解的物理性态，还能够大大减少自由度以节省计算量。本项目将建立各向异性网格下求解Oseen问题的稳定化有限元方法；研究相应的自适应算法，包括h方法、r方法以及hr方法；进而编制程序来解决实际物理问题。

各向异性网格下稳定化方法的研究目前处于起步阶段，且大部分文献只讨论了结构化网格。由于非结构网格对于求解区域形状的良好适应性，研究相应的稳定化方法及自适应策略就变得十分有意义。本项目研究了各向异性非结构网格条件下求解Oseen问题的稳定化有限元方法，建立相应的稳定化格式和自适应策略。.在基金支持的这三年，共发表论文3篇，参加国际学术会议6次。具体进展是：.1、研究了各向异性网格的度量矩阵。首先给出了各向异性网格下插值误差的表达式，然后基于误差等分布原理推导出了适合于生成各向异性网格的度量张量，最后还给出了数值试验比较了这些度量张量的效果，同时还跟已有的度量张量做了对比，指出了新的度量张量的优点。.2、研究了各向异性网格条件下对流扩散方程和Stokes方程的稳定化有限元方法。本项目基于各向异性网格下的误差估计并结合移动网格方法的原理，给出了同时优化稳定化参数以及度量张量的一种策略，使得误差的能量范数可以达到等分布，当然这里的策略对于对流扩散方程和Stokes方程有所不同。.3、将对流占优问题的稳定化方法与stokes方程的稳定化方法结合起来，针对对流占优的Oseen问题，建立了各向异性网格下的稳定化方法及自适应算法。.4、建立了求解Stokes方程特征值问题的二网格和多重网格稳定化方法，提高了求解的效率。